面積計算器

在日常生活中，我們經常會遇到面積這樣的特徵。例如 - 桌子、牆壁、公寓、地塊、國家、大陸的面積。它僅適用於可由長度/寬度、半徑/直徑、對角線、高度和角度定義的平坦表面和條件平坦表面。

幾何學的整個部分都致力於此，研究平面圖形：正方形、長方形、梯形、菱形、圓形、橢圓形、三角形 - 平面測量。

歷史背景

考古研究表明，古巴比倫人在四五千年前就已經能夠測量表面積。正是巴比倫文明發現並實現了這一數學特徵，隨後建立了最複雜的計算：從地理到天文。

最初，面積僅用於測量土地。它們被分成相同大小的正方形，這簡化了農田和牧場的核算。隨後，這一特性被運用到建築和城市規劃中。

如果在巴比倫，“面積”的概念與正方形（後來的矩形）有著千絲萬縷的聯繫，那麼古埃及人則擴展了巴比倫的教學並將其應用於其他更複雜的圖形。所以，在古埃及他們知道如何確定平行四邊形、三角形和梯形的面積。此外，根據今天使用的相同基本公式。

例如，矩形的面積計算為長度乘以寬度，三角形的面積計算為底邊乘以高度的一半。當處理更複雜的形狀（多面體）時，首先將它們分解為簡單的形狀，然後使用基本公式進行計算，替換測量值。儘管存在特殊的複雜多面體公式，但這種方法仍在幾何中使用。

古希臘和印度

科學家直到公元前三世紀到二世紀才學會使用圓形圖形。我們談論的是古希臘研究人員歐幾里得和阿基米德，特別是基礎著作《開端》（第五捲和第十二卷）。在其中，歐幾里得科學地證明了圓的面積與其直徑的平方相關。他還開發了一種構建一系列區域的方法，隨著區域的增長，逐漸“耗盡”所需的區域。

反過來，阿基米德歷史上首次計算了拋物線段的面積，並在計算螺旋圈數的科學工作中提出了創新的想法。他是內切圓和外接圓的基本發現，利用內切圓和外接圓的半徑可以高精度計算許多幾何形狀的面積。

印度科學家向古埃及人和希臘人學習，在中世紀早期繼續進行研究。於是，公元7世紀著名天文學家、數學家婆羅摩笈多提出了“半周長”（記為p）這樣的概念，並利用它發展出了計算圓內切平面四邊形的新公式。但所有的公式在《公制》和其他科學著作中都不是以文本形式呈現，而是以圖形形式：如圖表和圖畫，並且在很久以後才得到最終形式 - 直到 17 世紀的歐洲。

歐洲

然後，1604年，歐幾里得發現的窮舉法被意大利科學家盧卡·瓦萊里奧推廣。他證明了內接圖形和外接圖形的面積之差可以小於任何給定面積，只要它們由平行四邊形組成。而德國科學家約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）首先計算出了橢圓的面積，這是他進行天文學研究所需要的。該方法的本質是將橢圓分解為多條直線，步長為1度。

從 19 世紀到 20 世紀，對平面圖形面積的研究幾乎已經耗盡，並以它們仍然存在的形式呈現。只有赫爾曼·明科夫斯基（Herman Minkowski）的發現才可以被認為是創新的，他提出對平面圖形使用“包絡層”，其厚度趨於零，才可以高精度地確定所需的表面積。但這種方法只有在觀察到可加性的情況下才有效，不能被認為是通用的。

古埃及人知道如何計算簡單幾何形狀的面積，並且隨著文明的發展，出現了越來越多的新計算公式。

例如，今天對於一個普通的三角形，有 7 個計算面積的公式，當用數值代替變量時，每個公式都是正確的。對於大多數其他形狀也可以這樣說：圓形、正方形、梯形、平行四邊形、菱形。

三角形

您應該從三角形開始 - 所有現代三角學都建立在其上的基本幾何圖形。有 4 個基本公式可以計算普通（非矩形）三角形的面積：

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h。
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c))。
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R。
S = p ⋅ r。

式中，a、b、c為三角形三邊長，h為高，r為內切圓半徑，R為外接圓半徑，p為半三角形- 周長等於 - (a + b + c) / 2。利用三角學，您可以使用另外三個公式來確定三角形的面積：

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ。
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β。
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α。

因此，α、β、γ 是相鄰邊之間的角度。使用這些公式，您可以計算任何三角形的面積，包括直角三角形和等邊三角形。

如果三角形是直角三角形，還可以根據斜邊和高、斜邊和銳角、邊和銳角、以及內切圓和斜邊的半徑求出其面積。

正方形和矩形

另一個簡單的幾何圖形是正方形，可以通過知道面或對角線的長度來計算其面積。計算公式如下：

S = a²。
S = (1/2) ⋅ d²。

因此，a是面的長度，d是對角線的長度。對於矩形，計算正交的方法只有一種：根據公式 S = a ⋅ b，其中 a 和 b 是邊長。

平行四邊形

在平行四邊形中，所有角度都不是 90 度，但成對出現時，每邊都是 180 度。也就是說，兩個對角始終是銳角，另外兩個是鈍角。鑑於這些特徵，有 3 個計算平行四邊形面積的公式：

S = a ⋅ h。
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ。

因此，a和b是平行四邊形的邊長，h是其高度，d1和d2是對角線的長度，α是邊之間的角度，γ是對角線之間的角度。根據已知的這些值，您可以通過用它們代替變量來快速確定所需的區域。

圓圈

對於規則的圓，在計算面積時，只有半徑和直徑很重要，而不考慮周長。根據以下公式進行計算：

S = π ⋅ r²。
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d²。

因此，π 是一個常數（等於 3.14...），r 是圓的半徑，d 是圓的直徑。

四邊形

通過知道凸四邊形的對角線長度和它們之間的角度、邊長和它們之間的角度以及內切圓和外接圓的半徑，您可以計算凸四邊形的正交。因此，可以應用四個公式之一：

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α。
S = p ⋅ r。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ)。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d))。

在這些公式中，d1和d2是四邊形對角線的長度，r是內切圓的半徑，p是半周長，α是對角線之間的角度，θ是半周長兩個對角之和，或 (α + β) / 2。

鑽石

為了計算這個簡單幾何圖形的面積，使用了3個公式，其中變量是高度、邊長、角度和對角線。要進行計算，您可以應用三個方程之一：

S = a ⋅ h。
S = a² ⋅ sinα。
S = (1/2) × d1 × d2。

其中，a為菱形的邊長，h為菱形降低的高度的長度，α為兩條邊之間的角度，d1和d2為對角線的長度。

梯形

您可以確定具有兩條平行邊的梯形的正交，知道梯形的高度和底邊之和的一半，以及使用邊長 - 根據海倫公式：

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h。
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d))。

在這些表達式中，a和b是梯形的底邊長度，c和d是側面長度，h是高度，p是半周長，等於(a + b + c + d) / 2。

大多數列出的公式都很容易在一張紙或計算器上計算，但當今最簡單的選擇是基於瀏覽器的在線應用程序，其中所有變量都已指定，剩下的就是添加已知的變量數字到其空字段。

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