😍 Områdeskalkylator (cirkel, triangel, rektangel, kvadrat, parallellogram, trapets, romb)

I vardagen möter vi ofta en sådan egenskap som område. Till exempel - området för bordet, väggarna, lägenheten, tomten, landet, kontinenten. Det gäller endast plana och villkorligt plana ytor som kan definieras av längd/bredd, radie/diameter, diagonaler, höjder och vinklar.

En hel del av geometrin ägnas åt detta och studerar plana figurer: kvadrater, rektanglar, trapetser, romber, cirklar, ellipser, trianglar - planimetri.

Historisk bakgrund

Arkeologiska studier tyder på att de gamla babylonierna kunde mäta ytan för 4-5 tusen år sedan. Det är den babyloniska civilisationen som tillskrivs upptäckten och implementeringen av denna matematiska egenskap, på vilken de mest komplexa beräkningarna sedan byggdes: från geografiska till astronomiska.

Inledningsvis användes area bara för att mäta mark. De delades in i rutor av samma storlek, vilket förenklade redovisningen av odlingsmarker och betesmarker. Därefter användes egenskapen i arkitektur och stadsplanering.

Om i Babylon begreppet "område" var oupplösligt kopplat till en kvadrat (senare - en rektangel), så utökade de gamla egyptierna den babyloniska läran och tillämpade den på andra, mer komplexa figurer. Så i det forntida Egypten visste de hur man bestämmer området för parallellogram, trianglar och trapezoider. Dessutom enligt samma grundläggande formler som används idag.

Till exempel beräknades arean av en rektangel som dess längd gånger dess bredd, och arean av en triangel beräknades som hälften av dess bas gånger dess höjd. När man arbetade med mer komplexa figurer (polyedrar), bröts de först upp i enkla figurer och beräknades sedan med hjälp av grundläggande formler, som ersatte de uppmätta värdena. Denna metod används fortfarande i geometri, trots närvaron av speciella komplexa formler för polyedrar.

Forntida Grekland och Indien

Forskare lärde sig att arbeta med rundade figurer först under III-II århundradena f.Kr. Vi talar om de antika grekiska forskarna Euklid och Arkimedes, och i synnerhet om det grundläggande verket "Begynnelser" (böcker V och XII). I dem bevisade Euclid vetenskapligt att cirklarnas ytor är relaterade till varandra som kvadraterna på deras diametrar. Han utvecklade också en metod för att konstruera en sekvens av områden, som, allt eftersom de växer, gradvis "töter ut" det önskade området.

I sin tur beräknade Arkimedes för första gången i historien arean av ett segment av en parabel och lade fram innovativa idéer i sitt vetenskapliga arbete med att beräkna spiralsvängarna. Det är honom som den grundläggande upptäckten av inskrivna och omskrivna cirklar tillhör, vars radier kan användas för att beräkna arean av många geometriska former med hög noggrannhet.

Indiska vetenskapsmän, efter att ha lärt sig av de gamla egyptierna och grekerna, fortsatte sin forskning under tidig medeltid. Så den berömda astronomen och matematikern Brahmagupta på 700-talet e.Kr. introducerade ett sådant koncept som "semiperimeter" (betecknad som p), och med hjälp av det utvecklade nya formler för att beräkna platta fyrkanter inskrivna i cirklar. Men alla formler presenterades i "Metric" och andra vetenskapliga arbeten, inte i text, utan i grafisk form: som diagram och ritningar, och fick sin slutgiltiga form mycket senare - först på 1600-talet, i Europa.

Europa

Då, 1604, generaliserades utmattningsmetoden som upptäcktes av Euclid av den italienske vetenskapsmannen Luca Valerio. Han bevisade att skillnaden mellan områdena av en inskriven och omskriven figur kan göras mindre än någon given yta, förutsatt att de är uppbyggda av parallellogram. Och den tyske forskaren Johannes Kepler (Johannes Kepler) beräknade först arean av ellipsen, som han behövde för astronomisk forskning. Kärnan i metoden var att bryta ner ellipsen i många linjer med ett steg på 1 grad.

Från och med 1800- och 1900-talen var studierna av platta figurers områden praktiskt taget uttömda och presenterades i den form de fortfarande existerar. Endast upptäckten av Herman Minkowski, som föreslog att använda ett "omslutande lager" för platta figurer, som, med en tjocklek som tenderar till noll, kan anses vara innovativ, gör det möjligt att bestämma den önskade ytan med hög noggrannhet. Men den här metoden fungerar bara om additivitet observeras och kan inte anses vara universell.

De forntida egyptierna visste hur man beräknade areorna för enkla geometriska former, och allt eftersom civilisationerna utvecklades dök det upp fler och fler nya formler för beräkningar.

Till exempel, idag för en vanlig triangel finns det 7 formler för att beräkna arean, som var och en är korrekt när man ersätter numeriska värden istället för variabler. Detsamma kan sägas om de flesta andra former: cirkel, kvadrat, trapets, parallellogram, romb.

Triangel

Du bör börja med en triangel - den grundläggande geometriska figuren som all modern trigonometri är uppbyggd på. Det finns fyra grundläggande formler för att beräkna arean av en vanlig (icke-rektangulär) triangel:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

I dessa formler är a, b och c längderna på triangelns sidor, h är dess höjd, r är radien för den inskrivna cirkeln, R är radien för den omskrivna cirkeln och p är halvan -omkrets lika med - (a + b + c) / 2. Med hjälp av trigonometri kan du bestämma arean av en triangel med ytterligare tre formler:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

A, β och γ är följaktligen vinklarna mellan intilliggande sidor. Med hjälp av dessa formler kan du beräkna arean av vilken triangel som helst, inklusive rätvinkliga och liksidiga.

Om triangeln är en rätvinklig triangel, kan dess area också hittas från hypotenusan och höjden, från hypotenusan och den spetsiga vinkeln, från benet och den spetsiga vinkeln, och även från radien av den inskrivna cirkeln och hypotenusan.

Kvadrat och rektangel

En annan enkel geometrisk figur är en kvadrat, vars area kan beräknas genom att känna till längden på en yta eller diagonal. Formler för beräkningar ser ut så här:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Därför är a längden på ansiktet och d är längden på diagonalen. När det gäller rektangeln är endast ett alternativ för att beräkna kvadraturen möjligt för den: enligt formeln S = a ⋅ b, där a och b är längderna på sidorna.

Parallelogram

I ett parallellogram skiljer sig alla vinklar från 90 grader, men i par ger de 180 grader på varje sida. Det vill säga två motsatta vinklar är alltid spetsiga och de andra två är trubbiga. Med tanke på dessa funktioner finns det 3 formler för att beräkna arean av ett parallellogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A och b är följaktligen längderna på parallellogrammets sidor, h är dess höjd, d1 och d2 är längderna på diagonalerna, α är vinkeln mellan sidorna och γ är vinkeln mellan diagonalerna. Beroende på vilka av dessa värden som är kända kan du snabbt bestämma den yta som krävs genom att ersätta dem i stället för variabler.

Cirkel

För en vanlig cirkel är det bara radien och diametern som spelar roll vid beräkning av arean - utan att ta hänsyn till omkretsen. Beräkningar utförs enligt formlerna:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Därför är π en konstant (lika med 3,14...), r är cirkelns radie och d är dess diameter.

Quadrangle

Du kan beräkna kvadraturen för en konvex fyrhörning genom att känna till längden på dess diagonaler och vinklarna mellan dem, längden på sidorna och vinklarna mellan dem, samt radierna för de inskrivna och omskrivna cirklarna. Följaktligen kan en av fyra formler användas:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

I dessa formler är d1 och d2 längden på diagonalerna i fyrkanten, r är radien för den inskrivna cirkeln, p är halvomkretsen, α är vinkeln mellan diagonalerna och θ är halv- summan av två motsatta vinklar, eller (α + β) / 2.

Diamant

För att beräkna arean av denna enkla geometriska figur används 3 formler, där variablerna är höjd, sidolängder, vinklar och diagonaler. För att beräkna kan du använda en av tre ekvationer:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

I dem är a längden på sidan av romben, h är längden på höjden sänkt till den, α är vinkeln mellan de två sidorna och d1 och d2 är längden på diagonalerna.

Trapets

Du kan bestämma kvadraturen för en trapets med två parallella sidor, genom att känna till dess höjd och halva summan av baserna, samt använda sidornas längder - enligt Herons formel:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

I dessa uttryck är a och b längderna på trapetsens baser, c och d är längderna på sidoytorna, h är höjden och p är halvomkretsen lika med (a + b + c + d) / 2.

De flesta av de listade formlerna är lätta att beräkna på ett papper eller en miniräknare, men det enklaste alternativet idag är en webbläsarbaserad onlineapplikation där alla variabler redan är specificerade, och allt som återstår är att lägga till kända nummer till sina tomma fält.

Områdeskalkylator