Kalkulator površine

V vsakdanjem življenju se pogosto srečujemo s tako značilnostjo, kot je območje. Na primer - območje mize, sten, stanovanja, parcele, države, celine. Velja samo za ravne in pogojno ravne površine, ki jih je mogoče določiti z dolžino/širino, polmerom/premerom, diagonalami, višinami in koti.

Temu je posvečen cel razdelek geometrije, ki preučuje ravninske figure: kvadrate, pravokotnike, trapeze, rombove, kroge, elipse, trikotnike - planimetrija.

Zgodovinsko ozadje

Arheološke študije kažejo, da so stari Babilonci lahko izmerili površino pred 4-5 tisoč leti. Babilonska civilizacija je zaslužna za odkritje in uveljavitev te matematične značilnosti, na kateri so bili pozneje zgrajeni najbolj zapleteni izračuni: od geografskih do astronomskih.

Sprva se je površina uporabljala samo za merjenje zemljišča. Razdeljeni so bili na enako velike kvadrate, kar je poenostavilo obračunavanje poljščin in pašnikov. Kasneje je bila značilnost uporabljena v arhitekturi in urbanističnem načrtovanju.

Če je bil v Babilonu koncept "območja" neločljivo povezan s kvadratom (kasneje - pravokotnikom), potem so stari Egipčani razširili babilonsko učenje in ga uporabili za druge, bolj zapletene figure. Tako so v starem Egiptu vedeli, kako določiti površino paralelogramov, trikotnikov in trapezov. Še več, po enakih osnovnih formulah, ki se uporabljajo danes.

Na primer, površina pravokotnika je bila izračunana kot njegova dolžina, pomnožena z njegovo širino, površina trikotnika pa je bila izračunana kot polovica njegove osnove, pomnožena z njegovo višino. Pri delu s kompleksnejšimi liki (poliedri) so jih najprej razdelili na enostavne like, nato pa jih izračunali po osnovnih formulah, pri čemer so nadomestili izmerjene vrednosti. Ta metoda se še vedno uporablja v geometriji, kljub prisotnosti posebnih kompleksnih formul za poliedre.

Stara Grčija in Indija

Znanstveniki so se naučili delati z zaobljenimi figurami šele v III-II stoletju pr. Govorimo o starogrških raziskovalcih Evklidu in Arhimedu, zlasti o temeljnem delu "Začetki" (V. in XII. knjiga). V njih je Evklid znanstveno dokazal, da so ploščine krogov med seboj povezane kot kvadrati njihovih premerov. Razvil je tudi metodo za sestavo zaporedja območij, ki z rastjo postopoma »izčrpajo« želeno območje.

Po drugi strani pa je Arhimed prvič v zgodovini izračunal površino segmenta parabole in v svojem znanstvenem delu o izračunu zavojev spiral predstavil inovativne ideje. Njemu pripada temeljno odkritje včrtanih in opisanih krogov, katerih polmeri se lahko uporabljajo za izračun ploščin številnih geometrijskih oblik z visoko natančnostjo.

Indijski znanstveniki, ki so se učili od starih Egipčanov in Grkov, so svoje raziskave nadaljevali v zgodnjem srednjem veku. Tako je slavni astronom in matematik Brahmagupta v 7. stoletju našega štetja uvedel tak koncept, kot je "polperimeter" (označen kot p), in z njegovo uporabo razvil nove formule za izračun ravnih štirikotnikov, vpisanih v kroge. Toda vse formule so bile predstavljene v "Metriki" in drugih znanstvenih delih ne v besedilu, temveč v grafični obliki: kot diagrami in risbe, končno obliko pa so dobile veliko pozneje - šele v 17. stoletju v Evropi.

Evropa

Nato je leta 1604 italijanski znanstvenik Luca Valerio posplošil metodo izčrpavanja, ki jo je odkril Evklid. Dokazal je, da je razlika med ploščinami včrtane in obrobljene figure lahko manjša od katere koli dane ploščine, če sta sestavljeni iz paralelogramov. In nemški znanstvenik Johannes Kepler (Johannes Kepler) je najprej izračunal površino elipse, ki jo je potreboval za astronomske raziskave. Bistvo metode je bilo razstaviti elipso na veliko črt s korakom 1 stopinje.

Od 19. do 20. stoletja so bile študije o področjih ravnih figur praktično izčrpane in predstavljene v obliki, v kateri še vedno obstajajo. Šele odkritje Hermana Minkowskega, ki je predlagal uporabo "ovojne plasti" za ravne figure, ki se z debelino, ki se nagiba k nič, lahko šteje za inovativno, omogoča določitev želene površine z visoko natančnostjo. Toda ta metoda deluje le, če opazimo aditivnost, in je ni mogoče šteti za univerzalno.

Kako najti površino (formule za površino)

Stari Egipčani so znali izračunati ploščine enostavnih geometrijskih likov, z razvojem civilizacij pa se je pojavljalo vse več novih formul za izračun.

Na primer, danes za navaden trikotnik obstaja 7 formul za izračun površine, od katerih je vsaka pravilna pri zamenjavi številskih vrednosti namesto spremenljivk. Enako lahko rečemo za večino drugih oblik: krog, kvadrat, trapez, paralelogram, romb.

Trikotnik

Začeti morate s trikotnikom – osnovnim geometrijskim likom, na katerem temelji vsa sodobna trigonometrija. Obstajajo 4 osnovne formule za izračun ploščine navadnega (nepravokotnega) trikotnika:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

V teh formulah so a, b in c dolžine stranic trikotnika, h je njegova višina, r je polmer včrtanega kroga, R je polmer opisanega kroga in p je pol -obseg je enak - (a + b + c) / 2. S trigonometrijo lahko določite površino trikotnika z uporabo treh dodatnih formul:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

V skladu s tem so α, β in γ koti med sosednjima stranicama. S temi formulami lahko izračunate površino katerega koli trikotnika, vključno s pravokotnimi in enakostraničnimi.

Če je trikotnik pravokoten, lahko njegovo ploščino izračunamo tudi iz hipotenuze in višine, iz hipotenuze in ostrega kota, iz kraka in ostrega kota ter tudi iz polmera včrtanega kroga in hipotenuze.

Kvadrat in pravokotnik

Druga preprosta geometrijska figura je kvadrat, katerega ploščino lahko izračunate tako, da poznate dolžino ploskve ali diagonale. Formule za izračun izgledajo takole:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

V skladu s tem je a dolžina ploskve, d pa dolžina diagonale. Kar zadeva pravokotnik, je zanj možna le ena možnost za izračun kvadrature: po formuli S = a ⋅ b, kjer sta a in b dolžini stranic.

Paralelogram

V paralelogramu se vsi koti razlikujejo od 90 stopinj, vendar skupaj dajejo 180 stopinj na vsaki strani. To pomeni, da sta dva nasprotna kota vedno ostra, druga dva pa top. Glede na te značilnosti obstajajo 3 formule za izračun površine paralelograma:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Skladno s tem sta a in b dolžini stranic paralelograma, h je njegova višina, d1 in d2 sta dolžini diagonal, α je kot med stranicama in γ je kot med diagonalama. Glede na to, katera od teh vrednosti je znana, lahko hitro določite zahtevano območje tako, da jih zamenjate namesto spremenljivk.

Krog

Za navaden krog sta pri izračunu površine pomembna samo polmer in premer – brez upoštevanja obsega. Izračuni se izvajajo po formulah:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

V skladu s tem je π konstanta (enaka 3,14 ...), r je polmer kroga in d je njegov premer.

Štirikotnik

Kvadraturo konveksnega štirikotnika lahko izračunate tako, da poznate dolžine njegovih diagonal in kotov med njimi, dolžine stranic in kotov med njimi ter polmera včrtane in opisane krožnice. V skladu s tem je mogoče uporabiti eno od štirih formul:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

V teh formulah sta d1 in d2 dolžini diagonal štirikotnika, r je polmer včrtanega kroga, p je polobod, α je kot med diagonalama in θ je pol- vsota dveh nasprotnih kotov ali (α + β) / 2.

Diamanti

Za izračun površine te preproste geometrijske figure se uporabljajo 3 formule, v katerih so spremenljivke višina, dolžine stranic, koti in diagonale. Za izračun lahko uporabite eno od treh enačb:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

V njih je a dolžina stranice romba, h je dolžina višine, spuščene nanjo, α je kot med obema stranicama, d1 in d2 pa sta dolžini diagonal.

Trapez

Kvadraturo trapeza z dvema vzporednima stranicama lahko določite tako, da poznate njegovo višino in polovično vsoto osnov, pa tudi z uporabo dolžin stranic - po Heronovi formuli:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

V teh izrazih sta a in b dolžini osnov trapeza, c in d sta dolžini stranskih ploskev, h je višina in p je polobod, ki je enak (a + b + c + d) / 2.

Večino naštetih formul je enostavno izračunati na listu papirja ali kalkulatorju, vendar je danes najpreprostejša možnost brskalniška spletna aplikacija, v kateri so vse spremenljivke že določene in ostane le še dodajanje znanih številke v njihova prazna polja.

Kalkulator površine

Drugi pripomočki