Калкулатор за површина

Во секојдневниот живот често се среќаваме со таква карактеристика како површина. На пример - површината на масата, ѕидовите, станот, парцелата, земјата, континентот. Се применува само за рамни и условно рамни површини кои можат да се дефинираат со должина/ширина, радиус/дијаметар, дијагонали, висини и агли.

Цел дел од геометријата е посветен на ова, проучувајќи рамни фигури: квадрати, правоаголници, трапезоиди, ромбови, кругови, елипси, триаголници - планиметрија.

Историска позадина

Археолошките студии покажуваат дека древните Вавилонци можеле да ја измерат површината пред 4-5 илјади години. Токму вавилонската цивилизација е заслужна за откривањето и имплементацијата на оваа математичка карактеристика, на која потоа биле изградени најсложените пресметки: од географски до астрономски.

Првично, површината се користеше само за мерење на земјиштето. Тие беа поделени на квадрати со иста големина, што го поедностави сметководството на земјоделските површини и пасиштата. Последователно, карактеристиката се користеше во архитектурата и урбанистичкото планирање.

Ако во Вавилон концептот на „област“ бил нераскинливо поврзан со квадрат (подоцна - правоаголник), тогаш древните Египќани го прошириле вавилонското учење и го примениле на други, посложени фигури. Значи, во древниот Египет знаеле како да ја одредат областа на паралелограми, триаголници и трапезоиди. Покрај тоа, според истите основни формули што се користат денес.

На пример, плоштината на правоаголникот беше пресметана како неговата должина помножена со ширината, а плоштината на триаголникот беше пресметана како половина од неговата основа и нејзината висина. При работа со посложени фигури (полиедри), тие најпрво беа поделени на едноставни бројки, а потоа се пресметуваа со помош на основни формули, заменувајќи ги измерените вредности. Овој метод сè уште се користи во геометријата, и покрај присуството на специјални сложени формули за полиедри.

Античка Грција и Индија

Научниците научиле да работат со заоблени фигури дури во III-II век п.н.е. Станува збор за античките грчки истражувачи Евклид и Архимед, а особено за основното дело „Почетоци“ (книги V и XII). Во нив, Евклид научно докажал дека областите на круговите се поврзани една со друга како квадрати на нивните дијаметри. Тој, исто така, развил метод за конструирање низа области, кои, како што растат, постепено ја „исцрпуваат“ саканата област.

За возврат, Архимед за прв пат во историјата ја пресметал плоштината на сегмент од параболата и изнесе иновативни идеи во неговата научна работа за пресметување на вртењата на спиралите. Нему му припаѓа фундаменталното откритие на впишани и ограничени кругови, чии радиуси може да се искористат за да се пресметаат плоштините на многу геометриски форми со голема точност.

Индиските научници, поучени од старите Египќани и Грци, продолжија со своето истражување во раниот среден век. Значи, познатиот астроном и математичар Брамагупта во 7 век од нашата ера воведе таков концепт како „полупериметар“ (означен како p), и користејќи го развил нови формули за пресметување на рамни четириаголници впишани во кругови. Но, сите формули беа претставени во „Метриката“ и другите научни трудови не во текст, туку во графичка форма: како дијаграми и цртежи, а својата конечна форма ја добија многу подоцна - дури во 17 век, во Европа.

Европа

Потоа, во 1604 година, методот на исцрпување откриен од Евклид бил генерализиран од италијанскиот научник Лука Валерио. Тој докажа дека разликата помеѓу плоштините на впишана и ограничена фигура може да се направи помала од која било дадена област, под услов тие да се составени од паралелограми. И германскиот научник Јоханес Кеплер (Јоханес Кеплер) прво ја пресметал областа на елипсата, која му била потребна за астрономски истражувања. Суштината на методот беше да се разложи елипсата на многу линии со чекор од 1 степен.

Од 19-20 век, студиите за областите на рамни фигури беа практично исцрпени и претставени во форма во која тие сè уште постојат. Само откритието на Херман Минковски, кој предложи да се користи „обвивка“ за рамни фигури, која, со дебелина која се стреми кон нула, може да се смета за иновативна, овозможува да се одреди саканата површина со голема точност. Но, овој метод функционира само ако се забележи адитивност и не може да се смета за универзален.

Како да се најде површината (формули за површина)

Древните Египќани знаеле како да ги пресметаат површините на едноставни геометриски форми и како што се развивале цивилизациите, се појавувале се повеќе и повеќе нови формули за пресметки.

На пример, денес за обичен триаголник има 7 формули за пресметување на плоштината, од кои секоја е точна кога се заменуваат нумерички вредности наместо променливи. Истото може да се каже и за повеќето други форми: круг, квадрат, трапез, паралелограм, ромб.

Триаголник

Треба да започнете со триаголник - основната геометриска фигура на која е изградена целата модерна тригонометрија. Постојат 4 основни формули за пресметување на плоштината на обичен (неправоаголен) триаголник:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ ч.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Во овие формули, a, b и c се должините на страните на триаголникот, h е неговата висина, r е радиусот на впишаната кружница, R е радиусот на опишаната кружница и p е полу -периметар еднаков на - (a + b + c) / 2. Користејќи тригонометрија, можете да ја одредите плоштината на триаголник користејќи уште три формули:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ грев γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Според тоа, α, β и γ се аглите помеѓу соседните страни. Користејќи ги овие формули, можете да ја пресметате плоштината на кој било триаголник, вклучувајќи ги правоаголните и рамнострани.

Ако триаголникот е правоаголен триаголник, неговата плоштина може да се најде и од хипотенузата и висината, од хипотенузата и остриот агол, од кракот и остриот агол, а исто така и од радиусот на впишаниот круг и хипотенуза.

Квадрат и правоаголник

Друга едноставна геометриска фигура е квадрат, чија површина може да се пресмета со познавање на должината на лицето или дијагоналата. Формулите за пресметки изгледаат вака:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Според тоа, a е должината на лицето, а d е должината на дијагоналата. Што се однесува до правоаголникот, за него е можна само една опција за пресметување на квадратурата: според формулата S = a ⋅ b, каде што a и b се должините на страните.

Паралелограм

Во паралелограм, сите агли се различни од 90 степени, но спарени заедно даваат 180 степени на секоја страна. Односно, два спротивни агли се секогаш остри, а другите два се тапи. Со оглед на овие карактеристики, постојат 3 формули за пресметување на плоштината на паралелограм:

S = a ⋅ ч.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Според тоа, a и b се должините на страните на паралелограмот, h е неговата висина, d1 и d2 се должините на дијагоналите, α е аголот помеѓу страните, а γ е аголот помеѓу дијагоналите. Во зависност од тоа кои од овие вредности се познати, можете брзо да ја одредите потребната област со нивна замена на местото на променливите.

Круг

За правилен круг, само радиусот и дијаметарот се важни при пресметувањето на површината - без да се земе предвид обемот. Пресметките се вршат според формулите:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Според тоа, π е константа (еднаква на 3,14...), r е радиусот на кругот, а d е неговиот дијаметар.

Четириаголник

Можете да ја пресметате квадратурата на конвексен четириаголник со познавање на должината на неговите дијагонали и аглите меѓу нив, должините на страните и аглите меѓу нив, како и радиусите на впишаните и ограничените кругови. Според тоа, може да се примени една од четирите формули:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − в) ⋅ (p − d)).

Во овие формули, d1 и d2 се должините на дијагоналите на четириаголникот, r е радиус на впишаниот круг, p е половина периметар, α е аголот помеѓу дијагоналите и θ е половина од збир од два спротивни агли, или (α + β) / 2.

Дијамант

За да се пресмета плоштината на оваа едноставна геометриска фигура, се користат 3 формули, во кои променливите се висина, должини на страни, агли и дијагонали. За да пресметате, можете да примените една од трите равенки:

S = a ⋅ ч.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Кај нив, a е должината на страната на ромбот, h е должината на висината спуштена до него, α е аголот помеѓу двете страни, а d1 и d2 се должините на дијагоналите.

Трапез

Можете да ја одредите квадратурата на трапезот со две паралелни страни, знаејќи ја неговата висина и половина од збирот на основите, како и користејќи ги должините на страните - според формулата на Херон:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ ч.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Во овие изрази, a и b се должините на основите на трапезот, c и d се должините на страничните страни, h е висината, а p е полупериметарот еднаков на (a + b + c + d) / 2.

Повеќето од наведените формули лесно се пресметуваат на парче хартија или калкулатор, но најлесната опција денес е онлајн апликација базирана на прелистувач во која сите променливи се веќе наведени, а останува само да се додадат познатите броеви до нивните празни полиња.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Калкулатор за површина