Kalkulator luas

Tambahkan ke situs Metainformasi {$ infoContainerHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Alat lainnya

Kalkulator keliling{$ ',' | translate $} Kalkulator volume{$ ',' | translate $} Tabel perkalian{$ ',' | translate $} Tabel periodik{$ ',' | translate $} Kalkulator matriks{$ ',' | translate $} Kalkulator KPK{$ ',' | translate $} Kalkulator trigonometri{$ ',' | translate $} Kalkulator FPB

Kalkulator luas

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai ciri-ciri seperti luas. Misalnya - luas meja, dinding, apartemen, plot, negara, benua. Ini hanya berlaku untuk permukaan datar dan datar bersyarat yang dapat ditentukan oleh panjang/lebar, jari-jari/diameter, diagonal, tinggi, dan sudut.

Seluruh bagian geometri dikhususkan untuk ini, mempelajari gambar bidang: bujur sangkar, persegi panjang, trapesium, belah ketupat, lingkaran, elips, segitiga - planimetri.

Latar belakang sejarah

Studi arkeologi menunjukkan bahwa orang Babilonia kuno mampu mengukur luas permukaan 4-5 ribu tahun yang lalu. Peradaban Babilonialah yang dikreditkan dengan penemuan dan penerapan karakteristik matematika ini, di mana perhitungan paling rumit kemudian dibuat: dari geografis hingga astronomi.

Awalnya, luas hanya digunakan untuk mengukur tanah. Mereka dibagi menjadi kotak dengan ukuran yang sama, yang menyederhanakan penghitungan lahan pertanian dan padang rumput. Selanjutnya, karakteristik tersebut digunakan dalam arsitektur dan perencanaan kota.

Jika di Babilonia konsep "luas" terkait erat dengan persegi (kemudian - persegi panjang), maka orang Mesir kuno memperluas ajaran Babilonia dan menerapkannya pada figur lain yang lebih kompleks. Jadi, di Mesir kuno mereka tahu cara menentukan luas jajaran genjang, segitiga, dan trapesium. Apalagi menurut rumus dasar yang sama yang digunakan saat ini.

Misalnya, luas persegi panjang dihitung sebagai panjang kali lebarnya, dan luas segitiga dihitung sebagai setengah alasnya dikali tingginya. Saat bekerja dengan angka yang lebih kompleks (polihedra), angka tersebut pertama kali dipecah menjadi angka sederhana, dan kemudian dihitung menggunakan rumus dasar, menggantikan nilai yang terukur. Metode ini masih digunakan dalam geometri, meskipun ada rumus kompleks khusus untuk polihedra.

Yunani Kuno dan India

Para ilmuwan belajar untuk bekerja dengan bentuk bulat hanya pada abad III-II SM. Kita berbicara tentang peneliti Yunani kuno Euclid dan Archimedes, dan khususnya tentang karya fundamental "Awal" (buku V dan XII). Di dalamnya, Euclid secara ilmiah membuktikan bahwa bidang lingkaran berhubungan satu sama lain sebagai kuadrat dari diameternya. Dia juga mengembangkan metode untuk membangun urutan area, yang seiring pertumbuhannya, secara bertahap "menghabiskan" area yang diinginkan.

Pada gilirannya, Archimedes untuk pertama kalinya dalam sejarah menghitung luas segmen parabola, dan mengajukan ide-ide inovatif dalam karya ilmiahnya tentang menghitung putaran spiral. Dialah yang memiliki penemuan mendasar dari lingkaran bertulis dan terbatas, yang jari-jarinya dapat digunakan untuk menghitung luas dari banyak bentuk geometris dengan akurasi tinggi.

Ilmuwan India, setelah belajar dari orang Mesir dan Yunani kuno, melanjutkan penelitian mereka selama awal Abad Pertengahan. Jadi, astronom dan matematikawan terkenal Brahmagupta pada abad ke-7 M memperkenalkan konsep seperti "semiperimeter" (dilambangkan sebagai p), dan dengan bantuannya mengembangkan formula baru untuk menghitung segi empat datar bertuliskan lingkaran. Tetapi semua rumus disajikan dalam "Metrik" dan karya ilmiah lainnya bukan dalam teks, tetapi dalam bentuk grafik: sebagai diagram dan gambar, dan menerima bentuk akhirnya jauh kemudian - hanya pada abad ke-17, di Eropa.

Eropa

Kemudian, pada tahun 1604, metode kelelahan yang ditemukan oleh Euclid digeneralisasikan oleh ilmuwan Italia Luca Valerio. Dia membuktikan bahwa perbedaan antara bidang gambar bertulis dan dibatasi dapat dibuat lebih kecil dari daerah tertentu, asalkan terdiri dari jajaran genjang. Dan ilmuwan Jerman Johannes Kepler (Johannes Kepler) pertama kali menghitung luas elips, yang dia butuhkan untuk penelitian astronomi. Inti dari metode ini adalah menguraikan elips menjadi banyak garis dengan langkah 1 derajat.

Pada abad ke-19 hingga ke-20, studi tentang bidang-bidang bidang datar hampir habis dan disajikan dalam bentuk yang masih ada. Hanya penemuan Herman Minkowski, yang mengusulkan untuk menggunakan "lapisan pembungkus" untuk gambar datar, yang dengan ketebalan cenderung nol, dapat dianggap inovatif, yang memungkinkan untuk menentukan luas permukaan yang diinginkan dengan akurasi tinggi. Tetapi metode ini hanya berfungsi jika aditivitas diperhatikan, dan tidak dapat dianggap universal.

Cara mencari luas (rumus luas)

Orang Mesir kuno mengetahui cara menghitung luas bentuk geometris sederhana, dan seiring perkembangan peradaban, semakin banyak rumus baru untuk perhitungan muncul.

Misalnya, hari ini untuk segitiga biasa ada 7 rumus untuk menghitung luas, yang masing-masing benar saat mengganti nilai numerik, bukan variabel. Hal yang sama berlaku untuk sebagian besar bentuk lainnya: lingkaran, persegi, trapesium, jajaran genjang, belah ketupat.

Segitiga

Anda harus mulai dengan segitiga - bentuk geometris dasar yang menjadi dasar semua trigonometri modern. Ada 4 rumus dasar untuk menghitung luas segitiga biasa (tidak persegi panjang):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Dalam rumus ini, a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga, h adalah tingginya, r adalah jari-jari lingkaran bertulis, R adalah jari-jari lingkaran bergaris, dan p adalah setengah -perimeter sama dengan - (a + b + c) / 2. Dengan menggunakan trigonometri, Anda dapat menentukan luas segitiga menggunakan tiga rumus lagi:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Dengan demikian, α, β, dan γ adalah sudut antara sisi-sisi yang berdekatan. Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menghitung luas segitiga apa pun, termasuk segitiga siku-siku dan sama sisi.

Jika segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, luasnya juga dapat ditemukan dari sisi miring dan tinggi, dari sisi miring dan sudut lancip, dari kaki dan sudut lancip, dan juga dari jari-jari lingkaran bertulis dan sisi miring.

Persegi dan Persegi Panjang

Bentuk geometris sederhana lainnya adalah bujur sangkar, yang luasnya dapat dihitung dengan mengetahui panjang sisi atau diagonal. Rumus perhitungan terlihat seperti ini:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Dengan demikian, a adalah panjang sisi, dan d adalah panjang diagonal. Sedangkan untuk persegi panjang, hanya satu opsi untuk menghitung kuadratur yang memungkinkan: menurut rumus S = a ⋅ b, dengan a dan b adalah panjang sisi-sisinya.

Paralelogram

Dalam jajar genjang, semua sudut berbeda dari 90 derajat, tetapi jika dipasangkan bersama-sama menghasilkan 180 derajat di setiap sisi. Artinya, dua sudut yang berlawanan selalu lancip, dan dua lainnya tumpul. Dengan adanya fitur-fitur tersebut, ada 3 rumus untuk menghitung luas jajaran genjang:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Dengan demikian, a dan b adalah panjang sisi jajargenjang, h adalah tingginya, d1 dan d2 adalah panjang diagonal, α adalah sudut antar sisi, dan γ adalah sudut antara diagonal. Bergantung pada nilai mana yang diketahui, Anda dapat dengan cepat menentukan area yang diperlukan dengan menggantinya dengan variabel.

Lingkaran

Untuk lingkaran biasa, hanya jari-jari dan diameter yang diperhitungkan saat menghitung luas - tanpa memperhitungkan keliling. Perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Dengan demikian, π adalah konstanta (sama dengan 3,14...), r adalah jari-jari lingkaran, dan d adalah diameternya.

Segi empat

Anda dapat menghitung kuadratur segiempat cembung dengan mengetahui panjang diagonalnya dan sudut di antara mereka, panjang sisi dan sudut di antara mereka, serta jari-jari lingkaran bertulis dan terbatas. Dengan demikian, salah satu dari empat rumus dapat diterapkan:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Dalam rumus ini, d1 dan d2 adalah panjang diagonal segi empat, r adalah jari-jari lingkaran bertulis, p adalah setengah keliling, α adalah sudut antara diagonal, dan θ adalah setengah keliling jumlah dari dua sudut yang berlawanan, atau (α + β) / 2.

Berlian

Untuk menghitung luas bangun geometri sederhana ini, digunakan 3 rumus yang variabelnya adalah tinggi, panjang sisi, sudut, dan diagonal. Untuk menghitung, Anda dapat menerapkan salah satu dari tiga persamaan:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Di dalamnya, a adalah panjang sisi belah ketupat, h adalah panjang tinggi yang diturunkan darinya, α adalah sudut antara kedua sisi, dan d1 dan d2 adalah panjang diagonal.

Trapesium

Anda dapat menentukan kuadratur trapesium dengan dua sisi sejajar, mengetahui tingginya dan setengah jumlah alasnya, serta menggunakan panjang sisi - menurut rumus Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Dalam persamaan ini, a dan b adalah panjang alas trapesium, c dan d adalah panjang sisi sisi, h adalah tinggi, dan p adalah setengah keliling yang sama dengan (a + b + c + d) / 2.

Sebagian besar rumus yang terdaftar mudah dihitung di selembar kertas atau kalkulator, tetapi opsi termudah saat ini adalah aplikasi online berbasis browser di mana semua variabel sudah ditentukan, dan yang tersisa hanyalah menambahkan yang diketahui angka ke kolom kosongnya.