Területszámító
A mindennapi életben gyakran találkozunk olyan jellemzővel, mint a terület. Például - az asztal területe, a falak, a lakás, a telek, az ország, a kontinens. Csak sík és feltételesen sík felületekre vonatkozik, amelyek hossz/szélesség, sugár/átmérő, átlók, magasságok és szögek alapján határozhatók meg.
A geometria egy egész szakaszát szentelték ennek, a síkidomok tanulmányozása során: négyzetek, téglalapok, trapézok, rombuszok, körök, ellipszisek, háromszögek - planimetria.
Történelmi háttér
Régészeti tanulmányok szerint az ókori babilóniaiak 4-5 ezer évvel ezelőtt meg tudták mérni a felszínt. A babiloni civilizáció nevéhez fűződik ennek a matematikai jellemzőnek a felfedezése és megvalósítása, amelyre később a legbonyolultabb számítások épültek: a földrajzitól a csillagászatiig.
A területet kezdetben csak a földterület mérésére használták. Egyforma méretű négyzetekre osztották őket, ami leegyszerűsítette a termőföldek és legelők elszámolását. Ezt követően a karakterisztikát az építészetben és a várostervezésben használták.
Ha Babilonban a „terület” fogalma elválaszthatatlanul összekapcsolódott egy négyzettel (később egy téglalappal), akkor az ókori egyiptomiak kiterjesztették a babiloni tanítást, és más, összetettebb alakzatokra is alkalmazták. Tehát az ókori Egyiptomban tudták, hogyan kell meghatározni a paralelogrammok, háromszögek és trapézok területét. Ráadásul ugyanazon alapképletek szerint, amelyeket ma is használnak.
Például egy téglalap területét úgy számították ki, hogy a hossza szorozva a szélessége, a háromszög területe pedig az alapja és a magassága fele. A bonyolultabb alakzatokkal (poliéderekkel) végzett munka során először egyszerű ábrákra bontották, majd alapképletekkel számították ki, a mért értékeket helyettesítve. Ezt a módszert még mindig használják a geometriában, annak ellenére, hogy léteznek speciális összetett képletek a poliéderekre.
Az ókori Görögország és India
A tudósok csak az ie III-II. században tanultak meg lekerekített alakokkal dolgozni. Az ókori görög kutatókról, Euklidészről és Arkhimédészről beszélünk, és különösen a „Kezdetek” című alapvető műről (V. és XII. könyv). Ezekben Eukleidész tudományosan bebizonyította, hogy a körök területei átmérőjük négyzeteiként viszonyulnak egymáshoz. Kidolgozott egy módszert a területek sorozatának felépítésére is, amelyek növekedésük során fokozatosan „kimerítik” a kívánt területet.
Arkhimédész viszont a történelem során először kiszámította egy parabola egy szakaszának területét, és innovatív ötleteket terjesztett elő a spirálok fordulatainak kiszámításával kapcsolatos tudományos munkájában. Hozzá tartozik a beírt és körülírt körök alapvető felfedezése, amelyek sugaraiból sok geometriai alakzat területe nagy pontossággal számítható ki.
Az indiai tudósok, miután tanultak az ókori egyiptomiaktól és görögöktől, a korai középkorban folytatták kutatásaikat. Tehát a híres csillagász és matematikus, Brahmagupta az i.sz. 7. században bevezetett egy olyan fogalmat, mint a „félperiméter” (jelölése p), és ennek segítségével új képleteket dolgozott ki a körökbe írt lapos négyszögek kiszámítására. De az összes képlet a „Metric”-ben és más tudományos munkákban nem szövegben, hanem grafikus formában: diagramok és rajzok formájában került bemutatásra, és végső formáját jóval később kapták meg – Európában csak a 17. században.
Európa
Azután 1604-ben az Euklidész által felfedezett kimerítési módszert Luca Valerio olasz tudós általánosította. Bebizonyította, hogy egy beírt és körülírt alakzat területei közötti különbséget tetszőleges területnél kisebbre lehet tenni, feltéve, hogy paralelogrammákból állnak. És a német tudós, Johannes Kepler (Johannes Kepler) először kiszámította az ellipszis területét, amelyre szüksége volt a csillagászati kutatáshoz. A módszer lényege az volt, hogy az ellipszist 1 fokos lépéssel sok vonalra bontják.
A 19-20. században a lapos figurák területére vonatkozó tanulmányok gyakorlatilag kimerültek, és a ma is létező formában mutatták be. Csupán Herman Minkowski felfedezése, aki a lapos figurákhoz olyan „burkolóréteg” alkalmazását javasolta, amely nullára hajló vastagságával innovatívnak tekinthető, teszi lehetővé a kívánt felület nagy pontosságú meghatározását. De ez a módszer csak akkor működik, ha az additivitás megfigyelhető, és nem tekinthető univerzálisnak.