Területszámító

A mindennapi életben gyakran találkozunk olyan jellemzővel, mint a terület. Például - az asztal területe, a falak, a lakás, a telek, az ország, a kontinens. Csak sík és feltételesen sík felületekre vonatkozik, amelyek hossz/szélesség, sugár/átmérő, átlók, magasságok és szögek alapján határozhatók meg.

A geometria egy egész szakaszát szentelték ennek, a síkidomok tanulmányozása során: négyzetek, téglalapok, trapézok, rombuszok, körök, ellipszisek, háromszögek - planimetria.

Történelmi háttér

Régészeti tanulmányok szerint az ókori babilóniaiak 4-5 ezer évvel ezelőtt meg tudták mérni a felszínt. A babiloni civilizáció nevéhez fűződik ennek a matematikai jellemzőnek a felfedezése és megvalósítása, amelyre később a legbonyolultabb számítások épültek: a földrajzitól a csillagászatiig.

A területet kezdetben csak a földterület mérésére használták. Egyforma méretű négyzetekre osztották őket, ami leegyszerűsítette a termőföldek és legelők elszámolását. Ezt követően a karakterisztikát az építészetben és a várostervezésben használták.

Ha Babilonban a „terület” fogalma elválaszthatatlanul összekapcsolódott egy négyzettel (később egy téglalappal), akkor az ókori egyiptomiak kiterjesztették a babiloni tanítást, és más, összetettebb alakzatokra is alkalmazták. Tehát az ókori Egyiptomban tudták, hogyan kell meghatározni a paralelogrammok, háromszögek és trapézok területét. Ráadásul ugyanazon alapképletek szerint, amelyeket ma is használnak.

Például egy téglalap területét úgy számították ki, hogy a hossza szorozva a szélessége, a háromszög területe pedig az alapja és a magassága fele. A bonyolultabb alakzatokkal (poliéderekkel) végzett munka során először egyszerű ábrákra bontották, majd alapképletekkel számították ki, a mért értékeket helyettesítve. Ezt a módszert még mindig használják a geometriában, annak ellenére, hogy léteznek speciális összetett képletek a poliéderekre.

Az ókori Görögország és India

A tudósok csak az ie III-II. században tanultak meg lekerekített alakokkal dolgozni. Az ókori görög kutatókról, Euklidészről és Arkhimédészről beszélünk, és különösen a „Kezdetek” című alapvető műről (V. és XII. könyv). Ezekben Eukleidész tudományosan bebizonyította, hogy a körök területei átmérőjük négyzeteiként viszonyulnak egymáshoz. Kidolgozott egy módszert a területek sorozatának felépítésére is, amelyek növekedésük során fokozatosan „kimerítik” a kívánt területet.

Arkhimédész viszont a történelem során először kiszámította egy parabola egy szakaszának területét, és innovatív ötleteket terjesztett elő a spirálok fordulatainak kiszámításával kapcsolatos tudományos munkájában. Hozzá tartozik a beírt és körülírt körök alapvető felfedezése, amelyek sugaraiból sok geometriai alakzat területe nagy pontossággal számítható ki.

Az indiai tudósok, miután tanultak az ókori egyiptomiaktól és görögöktől, a korai középkorban folytatták kutatásaikat. Tehát a híres csillagász és matematikus, Brahmagupta az i.sz. 7. században bevezetett egy olyan fogalmat, mint a „félperiméter” (jelölése p), és ennek segítségével új képleteket dolgozott ki a körökbe írt lapos négyszögek kiszámítására. De az összes képlet a „Metric”-ben és más tudományos munkákban nem szövegben, hanem grafikus formában: diagramok és rajzok formájában került bemutatásra, és végső formáját jóval később kapták meg – Európában csak a 17. században.

Európa

Azután 1604-ben az Euklidész által felfedezett kimerítési módszert Luca Valerio olasz tudós általánosította. Bebizonyította, hogy egy beírt és körülírt alakzat területei közötti különbséget tetszőleges területnél kisebbre lehet tenni, feltéve, hogy paralelogrammákból állnak. És a német tudós, Johannes Kepler (Johannes Kepler) először kiszámította az ellipszis területét, amelyre szüksége volt a csillagászati kutatáshoz. A módszer lényege az volt, hogy az ellipszist 1 fokos lépéssel sok vonalra bontják.

A 19-20. században a lapos figurák területére vonatkozó tanulmányok gyakorlatilag kimerültek, és a ma is létező formában mutatták be. Csupán Herman Minkowski felfedezése, aki a lapos figurákhoz olyan „burkolóréteg” alkalmazását javasolta, amely nullára hajló vastagságával innovatívnak tekinthető, teszi lehetővé a kívánt felület nagy pontosságú meghatározását. De ez a módszer csak akkor működik, ha az additivitás megfigyelhető, és nem tekinthető univerzálisnak.

Az ókori egyiptomiak tudták, hogyan kell kiszámítani az egyszerű geometriai formák területét, és a civilizációk fejlődésével egyre több új számítási képlet jelent meg.

Például ma egy közönséges háromszöghez 7 képlet létezik a terület kiszámítására, amelyek mindegyike helyes, ha változók helyett számértékeket helyettesítünk. Ugyanez elmondható a legtöbb más alakzatról is: kör, négyzet, trapéz, paralelogramma, rombusz.

Háromszög

Egy háromszöggel kell kezdenie – azzal az alapvető geometriai alakzattal, amelyre minden modern trigonometria épül. Egy közönséges (nem téglalap alakú) háromszög területének kiszámításához 4 alapvető képlet létezik:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

E képletekben a, b és c a háromszög oldalainak hossza, h a magassága, r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, és p a félig -perimeter egyenlő - (a + b + c) / 2. A trigonometria segítségével három további képlet segítségével határozhatja meg a háromszög területét:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Ennek megfelelően α, β és γ a szomszédos oldalak közötti szögek. Ezekkel a képletekkel bármilyen háromszög területét kiszámíthatja, beleértve a derékszögűeket és az egyenlő oldalúakat is.

Ha a háromszög derékszögű, akkor területe a befogóból és a magasságból, a befogó- és hegyesszögből, a szárból és a hegyesszögből, valamint a beírt kör és befogó sugarából is megtalálható.

Négyzet és téglalap

Egy másik egyszerű geometriai alakzat egy négyzet, amelynek területe kiszámítható egy lap vagy átló hosszának ismeretében. A számítási képletek így néznek ki:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Ennek megfelelően a a lap hossza, d pedig az átló hossza. Ami a téglalapot illeti, a kvadratúra kiszámítására egyetlen lehetőség lehetséges: az S = a ⋅ b képlet szerint, ahol a és b az oldalak hossza.

Paralelogramma

A paralelogrammában minden szög eltér a 90 foktól, de párban 180 fokot adnak mindkét oldalon. Vagyis két szemközti szög mindig hegyesszögű, a másik kettő pedig tompaszögű. Ezen jellemzők alapján 3 képlet létezik a paralelogramma területének kiszámítására:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Ennek megfelelően a és b a paralelogramma oldalainak hossza, h a magassága, d1 és d2 az átlók hossza, α az oldalak közötti szög, γ pedig az átlók közötti szög. Attól függően, hogy ezek közül az értékek közül melyik ismert, gyorsan meghatározhatja a szükséges területet, ha változók helyett helyettesíti őket.

Kör

Szabályos kör esetén csak a sugár és az átmérő számít a terület kiszámításakor – a kerület figyelembevétele nélkül. A számításokat a következő képletek szerint végezzük:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Ennek megfelelően π konstans (3,14...), r a kör sugara, d pedig az átmérője.

Négyszög

Egy konvex négyszög négyszögét úgy számíthatja ki, hogy ismeri átlóinak hosszát és a köztük lévő szögeket, az oldalak hosszát és a köztük lévő szögeket, valamint a beírt és körülírt körök sugarait. Ennek megfelelően a következő négy képlet egyike alkalmazható:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Ezekben a képletekben d1 és d2 a négyszög átlóinak hossza, r a beírt kör sugara, p a fél kerülete, α az átlók közötti szög, és θ a fél kerülete két szemközti szög összege, vagy (α + β) / 2.

Gyémánt

Ennek az egyszerű geometriai alakzatnak a területének kiszámításához 3 képletet használnak, amelyekben a változók a magasság, oldalhosszak, szögek és átlók. A kiszámításhoz a következő három egyenlet egyikét alkalmazhatja:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Nekük a a rombusz oldalának hossza, h a hozzá süllyesztett magasság hossza, α a két oldal szöge, d1 és d2 pedig az átlók hossza.

Trapéz

A két párhuzamos oldalú trapéz kvadratúráját meghatározhatja magasságának és az alapok összegének felének ismeretében, valamint az oldalak hosszának felhasználásával - a Heron-képlet szerint:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Ezekben a kifejezésekben a és b a trapéz alapjainak hossza, c és d az oldallapok hossza, h a magassága, és p a fél kerülete egyenlő (a + b + c + d) / 2.

A felsorolt képletek többsége könnyen kiszámítható egy papírlapon vagy egy számológépen, de ma a legegyszerűbb megoldás egy böngésző alapú online alkalmazás, amelyben már minden változó meg van adva, és csak az ismerteket kell hozzáadni. számokat az üres mezőikbe.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Területszámító