מחשבון שטח

המצרים הקדמונים ידעו לחשב שטחים של צורות גיאומטריות פשוטות, וככל שהתפתחו תרבויות, הופיעו עוד ועוד נוסחאות חדשות לחישובים.

לדוגמה, כיום למשולש רגיל יש 7 נוסחאות לחישוב השטח, שכל אחת מהן נכונה בהחלפת ערכים מספריים במקום משתנים. אותו הדבר ניתן לומר על רוב הצורות האחרות: עיגול, ריבוע, טרפז, מקבילית, מעוין.

משולש

כדאי להתחיל עם משולש - הדמות הגיאומטרית הבסיסית שעליה בנויה כל הטריגונומטריה המודרנית. ישנן 4 נוסחאות בסיסיות לחישוב השטח של משולש רגיל (לא מלבני):

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p ⋅ r.

בנוסחאות אלו, a, b ו-c הם אורכי צלעות המשולש, h הוא גובהו, r הוא רדיוס המעגל הכתוב, R הוא רדיוס המעגל המוקף, ו-p הוא חציו. -היקף שווה ל- (a + b + c) / 2. באמצעות טריגונומטריה, אתה יכול לקבוע את השטח של משולש באמצעות שלוש נוסחאות נוספות:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

בהתאם לכך, α, β ו-γ הן הזוויות בין צלעות סמוכות. באמצעות הנוסחאות האלה, אתה יכול לחשב את השטח של כל משולש, כולל ישר זווית ושווה צלעות.

אם המשולש הוא משולש ישר זווית, ניתן למצוא את השטח שלו גם מהתחתון והגובה, מהתחתון ומהזווית החדה, מהרגל ומהזווית החדה, וגם מהרדיוס של העיגול והתחתון הכתובים.

ריבוע ומלבן

דמות גיאומטרית פשוטה נוספת היא ריבוע, שניתן לחשב את שטחו על ידי הכרת אורך הפנים או האלכסון. נוסחאות לחישובים נראות כך:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

לפיכך, a הוא אורך הפנים, ו-d הוא אורך האלכסון. באשר למלבן, אפשרית עבורו רק אפשרות אחת לחישוב הריבוע: לפי הנוסחה S = a ⋅ b, כאשר a ו-b הם אורכי הצלעות.

מקבילית

במקבילית, כל הזוויות שונות מ-90 מעלות, אך בשילוב יחד נותנים 180 מעלות בכל צד. כלומר, שתי זוויות מנוגדות הן תמיד חדות, והשתיים האחרות קהות. בהתחשב בתכונות אלה, ישנן 3 נוסחאות לחישוב השטח של מקבילית:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα,
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

בהתאם לכך, a ו-b הם אורכי צלעות המקבילית, h הוא גובהה, d1 ו-d2 הם אורכי האלכסונים, α היא הזווית בין הצלעות, ו-γ היא הזווית בין האלכסונים. בהתאם לאיזה מהערכים הללו ידועים, תוכל לקבוע במהירות את השטח הנדרש על ידי החלפתם במקום משתנים.

מעגל

עבור עיגול רגיל, רק הרדיוס והקוטר משפיעים בחישוב השטח - מבלי לקחת בחשבון את ההיקף. החישובים מתבצעים לפי הנוסחאות:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

בהתאם לכך, π הוא קבוע (שווה ל-3.14...), r הוא רדיוס המעגל, ו-d הוא הקוטר שלו.

מרובע

אתה יכול לחשב את הריבוע של מרובע קמור על ידי הכרת אורך האלכסונים שלו והזוויות ביניהם, אורכי הצלעות והזוויות ביניהן, כמו גם רדיוסים של המעגלים הכתובים והמוקפים. בהתאם לכך, ניתן ליישם אחת מארבע נוסחאות:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p ⋅ r.
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

בנוסחאות אלו, d1 ו-d2 הם אורכי האלכסונים של המרובע, r הוא רדיוס המעגל הכתוב, p הוא חצי ההיקף, α הוא הזווית בין האלכסונים, ו-θ הוא חצי- סכום של שתי זוויות מנוגדות, או (α + β) / 2.

יהלום

כדי לחשב את השטח של דמות גיאומטרית פשוטה זו, נעשה שימוש ב-3 נוסחאות, שבהן המשתנים הם גובה, אורכי צלעות, זוויות ואלכסונים. כדי לחשב, אתה יכול ליישם אחת משלוש משוואות:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

בהם, a הוא אורך הצלע של המעוין, h הוא אורך הגובה שהורד אליו, α הוא הזווית בין שתי הצלעות, ו-d1 ו-d2 הם אורכי האלכסונים.

טרפז

ניתן לקבוע את הריבוע של טרפז בעל שתי צלעות מקבילות, לדעת את גובהו וחצי מסכום הבסיסים, וכן להשתמש באורכי הצלעות - לפי הנוסחה של הרון:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

בביטויים אלה, a ו-b הם אורכי הבסיס של הטרפז, c ו-d הם אורכי פני הצד, h הוא הגובה, ו-p הוא חצי ההיקף שווה ל-(a + b + c + d) / 2.

קל לחשב את רוב הנוסחאות המפורטות על פיסת נייר או מחשבון, אבל האפשרות הקלה ביותר כיום היא אפליקציה מקוונת מבוססת דפדפן שבה כל המשתנים כבר מצוינים, וכל מה שנותר הוא להוסיף ידוע מספרים לשדות הריקים שלהם.