Calculateur de surface

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Calculateur de surface

Dans la vie de tous les jours, nous rencontrons souvent une caractéristique telle que la superficie. Par exemple - la superficie de la table, des murs, de l'appartement, de la parcelle, du pays, du continent. Il s'applique uniquement aux surfaces planes et conditionnellement planes qui peuvent être définies par la longueur/largeur, le rayon/diamètre, les diagonales, les hauteurs et les angles.

Une section entière de géométrie y est consacrée, étudiant les figures planes : carrés, rectangles, trapèzes, losanges, cercles, ellipses, triangles - planimétrie.

Contexte historique

Des études archéologiques indiquent que les anciens Babyloniens ont pu mesurer la surface il y a 4 à 5 000 ans. C'est à la civilisation babylonienne qu'on attribue la découverte et la mise en œuvre de cette caractéristique mathématique, sur laquelle se sont ensuite construits les calculs les plus complexes : du géographique à l'astronomique.

Au départ, la superficie n'était utilisée que pour mesurer la terre. Ils étaient divisés en carrés de même taille, ce qui simplifiait la comptabilisation des terres cultivées et des pâturages. Par la suite, la caractéristique a été utilisée en architecture et en urbanisme.

Si à Babylone, le concept de "zone" était inextricablement lié à un carré (plus tard - un rectangle), alors les anciens Égyptiens ont élargi l'enseignement babylonien et l'ont appliqué à d'autres figures plus complexes. Ainsi, dans l'Égypte ancienne, ils savaient déterminer l'aire des parallélogrammes, des triangles et des trapèzes. De plus, selon les mêmes formules de base qui sont utilisées aujourd'hui.

Par exemple, l'aire d'un rectangle a été calculée comme sa longueur multipliée par sa largeur, et l'aire d'un triangle a été calculée comme la moitié de sa base multipliée par sa hauteur. Lorsque vous travaillez avec des figures plus complexes (polyèdres), elles ont d'abord été décomposées en figures simples, puis calculées à l'aide de formules de base, en remplaçant les valeurs mesurées. Cette méthode est toujours utilisée en géométrie, malgré la présence de formules complexes spéciales pour les polyèdres.

Grèce antique et Inde

Les scientifiques n'ont appris à travailler avec des figures arrondies qu'aux III-II siècles av. Nous parlons des anciens chercheurs grecs Euclide et Archimède, et en particulier de l'ouvrage fondamental "Les débuts" (livres V et XII). En eux, Euclide a scientifiquement prouvé que les aires des cercles sont liées les unes aux autres comme les carrés de leurs diamètres. Il a également développé une méthode pour construire une séquence de zones qui, à mesure qu'elles grandissent, "épuisent" progressivement la zone souhaitée.

À son tour, Archimède calcule pour la première fois dans l'histoire l'aire d'un segment de parabole et propose des idées novatrices dans ses travaux scientifiques sur le calcul des tours de spirales. C'est à lui qu'appartient la découverte fondamentale des cercles inscrits et circonscrits, dont les rayons peuvent être utilisés pour calculer les aires de nombreuses formes géométriques avec une grande précision.

Les scientifiques indiens, ayant appris des anciens Égyptiens et Grecs, ont poursuivi leurs recherches au début du Moyen Âge. Ainsi, le célèbre astronome et mathématicien Brahmagupta au 7ème siècle après JC a introduit un concept tel que «demi-périmètre» (noté p) et l'a utilisé pour développer de nouvelles formules pour calculer des quadrilatères plats inscrits dans des cercles. Mais toutes les formules ont été présentées dans le "Metric" et d'autres ouvrages scientifiques non pas sous forme de texte, mais sous forme graphique : sous forme de diagrammes et de dessins, et ont reçu leur forme définitive bien plus tard - seulement au 17ème siècle, en Europe.

Europe

Puis, en 1604, la méthode d'épuisement découverte par Euclide fut généralisée par le scientifique italien Luca Valerio. Il a prouvé que la différence entre les aires d'une figure inscrite et circonscrite peut être rendue plus petite que n'importe quelle aire donnée, à condition qu'elles soient constituées de parallélogrammes. Et le scientifique allemand Johannes Kepler (Johannes Kepler) a d'abord calculé la surface de l'ellipse, dont il avait besoin pour la recherche astronomique. L'essence de la méthode était de décomposer l'ellipse en plusieurs lignes avec un pas de 1 degré.

A partir des XIXe-XXe siècles, les études sur les aires des figures planes sont pratiquement épuisées et présentées sous la forme dans laquelle elles existent encore. Seule la découverte d'Herman Minkowski, qui a proposé d'utiliser une "couche enveloppante" pour les figures planes, qui, avec une épaisseur tendant vers zéro, peut être considérée comme innovante, permet de déterminer avec une grande précision la surface souhaitée. Mais cette méthode ne fonctionne que si l'additivité est observée et ne peut pas être considérée comme universelle.

Comment trouver l’aire (formules pour calculer l’aire)

Les anciens Égyptiens savaient comment calculer les aires de formes géométriques simples, et à mesure que les civilisations se développaient, de plus en plus de nouvelles formules de calcul sont apparues.

Par exemple, aujourd'hui, pour un triangle ordinaire, il existe 7 formules de calcul de l'aire, chacune étant correcte lors de la substitution de valeurs numériques au lieu de variables. On peut en dire autant de la plupart des autres formes : cercle, carré, trapèze, parallélogramme, losange.

Triangle

Vous devriez commencer par un triangle - la figure géométrique de base sur laquelle repose toute la trigonométrie moderne. Il existe 4 formules de base pour calculer l'aire d'un triangle ordinaire (non rectangulaire) :

S = (1/2) ⋅ une ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − une) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Dans ces formules, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle, h est sa hauteur, r est le rayon du cercle inscrit, R est le rayon du cercle circonscrit et p est le demi -périmètre égal à - (a + b + c) / 2. En utilisant la trigonométrie, vous pouvez déterminer l'aire d'un triangle à l'aide de trois autres formules :

S = (1/2) ⋅ une ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ une ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

En conséquence, α, β et γ sont les angles entre les côtés adjacents. À l'aide de ces formules, vous pouvez calculer l'aire de n'importe quel triangle, y compris les triangles rectangles et équilatéraux.

Si le triangle est un triangle rectangle, son aire peut également être trouvée à partir de l'hypoténuse et de la hauteur, de l'hypoténuse et de l'angle aigu, de la jambe et de l'angle aigu, ainsi que du rayon du cercle inscrit et de l'hypoténuse.

Carré et rectangle

Une autre figure géométrique simple est un carré, dont l'aire peut être calculée en connaissant la longueur d'une face ou d'une diagonale. Les formules de calcul ressemblent à ceci :

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

En conséquence, a est la longueur du visage et d est la longueur de la diagonale. Quant au rectangle, une seule option pour calculer la quadrature lui est possible : selon la formule S = a ⋅ b, où a et b sont les longueurs des côtés.

Parallélogramme

Dans un parallélogramme, tous les angles sont différents de 90 degrés, mais mis ensemble, ils donnent 180 degrés de chaque côté. Autrement dit, deux angles opposés sont toujours aigus et les deux autres sont obtus. Compte tenu de ces caractéristiques, il existe 3 formules pour calculer l'aire d'un parallélogramme :

S = un ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

En conséquence, a et b sont les longueurs des côtés du parallélogramme, h est sa hauteur, d1 et d2 sont les longueurs des diagonales, α est l'angle entre les côtés et γ est l'angle entre les diagonales. Selon lesquelles de ces valeurs sont connues, vous pouvez déterminer rapidement la zone requise en les substituant à la place des variables.

Cercle

Pour un cercle régulier, seuls le rayon et le diamètre comptent lors du calcul de l'aire - sans tenir compte de la circonférence. Les calculs sont effectués selon les formules :

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

En conséquence, π est une constante (égale à 3,14...), r est le rayon du cercle et d est son diamètre.

Quadrilatère

Vous pouvez calculer la quadrature d'un quadrilatère convexe en connaissant la longueur de ses diagonales et les angles entre elles, les longueurs des côtés et les angles entre eux, ainsi que les rayons des cercles inscrits et circonscrits. En conséquence, l'une des quatre formules peut être appliquée :

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − une) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − une ⋅ b ⋅ c ⋅ ré ⋅ cos² θ).
S = √((p − une) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Dans ces formules, d1 et d2 sont les longueurs des diagonales du quadrilatère, r est le rayon du cercle inscrit, p est le demi-périmètre, α est l'angle entre les diagonales et θ est le demi- somme de deux angles opposés, soit (α + β) / 2.

Diamant

Pour calculer l'aire de cette figure géométrique simple, 3 formules sont utilisées, dans lesquelles les variables sont la hauteur, les longueurs de côté, les angles et les diagonales. Pour calculer, vous pouvez appliquer l'une des trois équations :

S = un ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

En eux, a est la longueur du côté du losange, h est la longueur de la hauteur qui lui est abaissée, α est l'angle entre les deux côtés et d1 et d2 sont les longueurs des diagonales.

Trapèze

Vous pouvez déterminer la quadrature d'un trapèze à deux côtés parallèles, en connaissant sa hauteur et la moitié de la somme des bases, ainsi qu'en utilisant les longueurs des côtés - selon la formule de Heron :

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Dans ces expressions, a et b sont les longueurs des bases du trapèze, c et d sont les longueurs des faces latérales, h est la hauteur, et p est le demi-périmètre égal à (a + b + c + d) / 2.

La plupart des formules répertoriées sont faciles à calculer sur une feuille de papier ou une calculatrice, mais l'option la plus simple aujourd'hui est une application en ligne basée sur un navigateur dans laquelle toutes les variables sont déjà spécifiées, et il ne reste plus qu'à ajouter des variables connues. nombres dans leurs champs vides.