Pinta-alalaskin

Muut työkalut

Pinta-alalaskin

Arkielämässä kohtaamme usein sellaisen ominaisuuden kuin alue. Esimerkiksi - pöydän pinta-ala, seinät, asunto, tontti, maa, maanosa. Se koskee vain tasaisia ja ehdollisesti tasaisia pintoja, jotka voidaan määrittää pituudella/leveydellä, säteellä/halkaisijalla, diagonaaleilla, korkeuksilla ja kulmilla.

Tälle on omistettu kokonainen geometria, jossa tutkitaan tasokuvioita: neliöitä, suorakulmioita, puolisuunnikkaita, rombuksia, ympyröitä, ellipsejä, kolmioita - planimetria.

Historiallinen tausta

Arkeologiset tutkimukset osoittavat, että muinaiset babylonialaiset pystyivät mittaamaan pinta-alan 4-5 tuhatta vuotta sitten. Babylonian sivilisaation ansiota on tämän matemaattisen ominaisuuden löytäminen ja toteuttaminen, jolle myöhemmin rakennettiin monimutkaisimmat laskelmat: maantieteellisistä tähtitieteellisiin.

Aluksi pinta-alaa käytettiin vain maan mittaamiseen. Ne jaettiin samankokoisiksi neliöiksi, mikä yksinkertaisti viljelymaiden ja laidunten kirjanpitoa. Myöhemmin ominaisuutta käytettiin arkkitehtuurissa ja kaupunkisuunnittelussa.

Jos Babylonissa käsite "alue" liitettiin erottamattomasti neliöön (myöhemmin suorakulmioon), muinaiset egyptiläiset laajensivat babylonialaista opetusta ja sovelsivat sitä muihin, monimutkaisempiin hahmoihin. Joten muinaisessa Egyptissä he tiesivät kuinka määrittää rinnakkaisten, kolmioiden ja puolisuunnikkaan pinta-ala. Lisäksi samojen peruskaavojen mukaan, joita käytetään nykyään.

Esimerkiksi suorakulmion pinta-ala laskettiin sen pituus kertaa leveys, ja kolmion pinta-ala laskettiin puoleksi sen kantasta kertaa sen korkeus. Monimutkaisempien kuvioiden (polyhedra) kanssa työskennellessä ne ensin jaoteltiin yksinkertaisiksi kuvioiksi ja laskettiin sitten peruskaavoilla korvaten mitatut arvot. Tätä menetelmää käytetään edelleen geometriassa huolimatta monitahoisille erityisistä monimutkaisista kaavoista.

Muinainen Kreikka ja Intia

Tutkijat oppivat työskentelemään pyöristetyillä lukuilla vasta III-II vuosisadalla eKr. Puhumme antiikin kreikkalaisista tutkijoista Euklidesta ja Arkhimedesta ja erityisesti perusteoksesta "Alku" (kirjat V ja XII). Niissä Euclid osoitti tieteellisesti, että ympyröiden alueet liittyvät toisiinsa halkaisijoidensa neliöinä. Hän kehitti myös menetelmän alueiden sarjan muodostamiseksi, joka kasvaessaan vähitellen "uuvuttaa" halutun alueen.

Arkhimedes puolestaan laski ensimmäistä kertaa historiassa paraabelin segmentin alueen ja esitti innovatiivisia ideoita tieteellisessä työssään spiraalien käänteiden laskemiseksi. Hänelle kuuluu peruslöytö piirretyistä ja rajatuista ympyröistä, joiden säteiden avulla voidaan laskea monien geometristen muotojen pinta-alat suurella tarkkuudella.

Intialaiset tiedemiehet, jotka olivat oppineet muinaisista egyptiläisistä ja kreikkalaisista, jatkoivat tutkimustaan varhaisella keskiajalla. Joten kuuluisa tähtitieteilijä ja matemaatikko Brahmagupta 7. vuosisadalla jKr esitteli sellaisen käsitteen kuin "puoliperimetri" (merkitty p:llä), ja sen avulla kehitettiin uusia kaavoja ympyröihin piirrettyjen litteiden nelikulmioiden laskemiseen. Mutta kaikki kaavat "Metricissä" ja muissa tieteellisissä töissä ei esitetty tekstinä, vaan graafisessa muodossa: kaavioina ja piirroksina, ja ne saivat lopullisen muotonsa paljon myöhemmin - vasta 1600-luvulla Euroopassa.

Eurooppa

Sitten vuonna 1604 italialainen tiedemies Luca Valerio yleisti Eukleideen löytämän uupumusmenetelmän. Hän osoitti, että piirretyn ja piirretyn kuvion alueiden välinen ero voidaan tehdä pienemmäksi kuin mikä tahansa alue, jos ne koostuvat suunnikasista. Ja saksalainen tiedemies Johannes Kepler (Johannes Kepler) laski ensin ellipsin alueen, jota hän tarvitsi tähtitieteelliseen tutkimukseen. Menetelmän ydin oli hajottaa ellipsi useiksi viivoiksi 1 asteen askeleella.

1800-1900-luvuilla tutkimukset litteiden hahmojen alueista olivat käytännössä loppuneet ja ne esitettiin siinä muodossa, jossa ne ovat edelleen olemassa. Ainoastaan Herman Minkowskin löytö, joka ehdotti "vaippakerroksen" käyttöä litteisiin hahmoihin, joiden paksuus on nolla, voidaan pitää innovatiivisena, mahdollistaa halutun pinta-alan määrittämisen suurella tarkkuudella. Mutta tämä menetelmä toimii vain, jos additiivisuutta havaitaan, eikä sitä voida pitää universaalina.

Miten pinta-ala löytyy (pinta-alan kaavoja)

Muinaiset egyptiläiset osasivat laskea yksinkertaisten geometristen muotojen pinta-alat, ja sivilisaatioiden kehittyessä ilmaantui yhä enemmän uusia laskukaavoja.

Esimerkiksi nykyään tavalliselle kolmiolle on olemassa 7 kaavaa alueen laskemiseen, joista jokainen on oikein, kun muuttujien sijasta korvataan numeeriset arvot. Sama voidaan sanoa useimmista muista muodoista: ympyrä, neliö, puolisuunnikkaan, suunnikkaat, rombi.

Kolmio

Sinun tulee aloittaa kolmiosta – geometrisesta peruskuviosta, jolle kaikki moderni trigonometria on rakennettu. Tavallisen (ei-suorakulmaisen) kolmion pinta-alan laskemiseen on neljä peruskaavaa:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Näissä kaavoissa a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet, h on sen korkeus, r on piirretyn ympyrän säde, R on rajatun ympyrän säde ja p on puolikas. -kehä yhtä suuri kuin - (a + b + c) / 2. Trigonometrian avulla voit määrittää kolmion pinta-alan käyttämällä kolmea muuta kaavaa:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Näin ollen α, β ja γ ovat vierekkäisten sivujen välisiä kulmia. Näiden kaavojen avulla voit laskea minkä tahansa kolmion pinta-alan, mukaan lukien suorakulmaiset ja tasasivuiset.

Jos kolmio on suorakulmainen kolmio, sen pinta-ala voidaan löytää myös hypotenuusasta ja korkeudesta, hypotenuusasta ja teräväkulmasta, jalka- ja teräväkulmasta sekä myös piirretyn ympyrän ja hypotenuusan säteestä.

Neliö ja suorakaide

Toinen yksinkertainen geometrinen kuvio on neliö, jonka pinta-ala voidaan laskea tietämällä kasvojen tai diagonaalin pituus. Laskentakaavat näyttävät tältä:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

A on siis kasvojen pituus ja d on diagonaalin pituus. Mitä tulee suorakulmioon, sille on vain yksi vaihtoehto kvadratuurin laskemiseen: kaavan S = a ⋅ b mukaan, missä a ja b ovat sivujen pituudet.

Rinnakkaiskaavio

Suunkkapiirroksen kaikki kulmat ovat erilaisia kuin 90 astetta, mutta yhdessä muodostavat 180 astetta kummallakin puolella. Toisin sanoen kaksi vastakkaista kulmaa ovat aina teräviä ja kaksi muuta tylppäkulmaa. Nämä ominaisuudet huomioon ottaen suunnikkaan pinta-alan laskemiseen on kolme kaavaa:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A ja b ovat siis suunnikkaan sivujen pituudet, h on sen korkeus, d1 ja d2 ovat lävistäjän pituudet, α on sivujen välinen kulma ja γ on lävistäjien välinen kulma. Riippuen siitä, mitkä näistä arvoista ovat tiedossa, voit nopeasti määrittää tarvittavan alueen korvaamalla ne muuttujien tilalla.

Ympyrä

Säännöllisen ympyrän kohdalla vain säde ja halkaisija ovat tärkeitä pinta-alaa laskettaessa – ympärysmittaa ottamatta huomioon. Laskelmat suoritetaan seuraavien kaavojen mukaan:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Näin ollen π on vakio (yhtä kuin 3,14...), r on ympyrän säde ja d on sen halkaisija.

Nelikulma

Voit laskea kuperan nelikulmion kvadratuurin, kun tiedät sen diagonaalien pituuden ja niiden väliset kulmat, sivujen pituudet ja niiden väliset kulmat sekä piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden säteet. Vastaavasti voidaan soveltaa yhtä neljästä kaavasta:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Näissä kaavoissa d1 ja d2 ovat nelikulmion lävistäjien pituudet, r on piirretyn ympyrän säde, p on puolikehä, α on lävistäjien välinen kulma ja θ on puolikas kahden vastakkaisen kulman summa tai (α + β) / 2.

Timantti

Tämän yksinkertaisen geometrisen kuvan pinta-alan laskemiseen käytetään kolmea kaavaa, joissa muuttujat ovat korkeus, sivujen pituudet, kulmat ja lävistäjät. Laskemiseen voit käyttää yhtä kolmesta yhtälöstä:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Niissä a on rombin sivun pituus, h on siihen lasketun korkeuden pituus, α on kahden sivun välinen kulma ja d1 ja d2 ovat lävistäjän pituudet.

Pusunsuunnikas

Voit määrittää kahdella yhdensuuntaisella sivulla olevan puolisuunnikkaan kvadratuurin, kun tiedät sen korkeuden ja puolet kantajen summasta sekä käyttämällä sivujen pituuksia - Heronin kaavan mukaan:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Näissä lausekkeissa a ja b ovat puolisuunnikkaan kannan pituudet, c ja d ovat sivupintojen pituuksia, h on korkeus ja p on puolikehä yhtä suuri kuin (a + b + c + d) / 2.

Suurin osa luetelluista kaavoista on helppo laskea paperilla tai laskimella, mutta helpoin vaihtoehto nykyään on selainpohjainen verkkosovellus, jossa kaikki muuttujat on jo määritetty, ja ei tarvitse kuin lisätä tunnetut numerot tyhjiin kenttiin.