Pinta-alalaskin

Muinaiset egyptiläiset osasivat laskea yksinkertaisten geometristen muotojen pinta-alat, ja sivilisaatioiden kehittyessä ilmaantui yhä enemmän uusia laskukaavoja.

Esimerkiksi nykyään tavalliselle kolmiolle on olemassa 7 kaavaa alueen laskemiseen, joista jokainen on oikein, kun muuttujien sijasta korvataan numeeriset arvot. Sama voidaan sanoa useimmista muista muodoista: ympyrä, neliö, puolisuunnikkaan, suunnikkaat, rombi.

Kolmio

Sinun tulee aloittaa kolmiosta – geometrisesta peruskuviosta, jolle kaikki moderni trigonometria on rakennettu. Tavallisen (ei-suorakulmaisen) kolmion pinta-alan laskemiseen on neljä peruskaavaa:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p ⋅ r.

Näissä kaavoissa a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet, h on sen korkeus, r on piirretyn ympyrän säde, R on rajatun ympyrän säde ja p on puolikas. -kehä yhtä suuri kuin - (a + b + c) / 2. Trigonometrian avulla voit määrittää kolmion pinta-alan käyttämällä kolmea muuta kaavaa:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Näin ollen α, β ja γ ovat vierekkäisten sivujen välisiä kulmia. Näiden kaavojen avulla voit laskea minkä tahansa kolmion pinta-alan, mukaan lukien suorakulmaiset ja tasasivuiset.

Jos kolmio on suorakulmainen kolmio, sen pinta-ala voidaan löytää myös hypotenuusasta ja korkeudesta, hypotenuusasta ja teräväkulmasta, jalka- ja teräväkulmasta sekä myös piirretyn ympyrän ja hypotenuusan säteestä.

Neliö ja suorakaide

Toinen yksinkertainen geometrinen kuvio on neliö, jonka pinta-ala voidaan laskea tietämällä kasvojen tai diagonaalin pituus. Laskentakaavat näyttävät tältä:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

A on siis kasvojen pituus ja d on diagonaalin pituus. Mitä tulee suorakulmioon, sille on vain yksi vaihtoehto kvadratuurin laskemiseen: kaavan S = a ⋅ b mukaan, missä a ja b ovat sivujen pituudet.

Rinnakkaiskaavio

Suunkkapiirroksen kaikki kulmat ovat erilaisia ​​kuin 90 astetta, mutta yhdessä muodostavat 180 astetta kummallakin puolella. Toisin sanoen kaksi vastakkaista kulmaa ovat aina teräviä ja kaksi muuta tylppäkulmaa. Nämä ominaisuudet huomioon ottaen suunnikkaan pinta-alan laskemiseen on kolme kaavaa:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα,
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A ja b ovat siis suunnikkaan sivujen pituudet, h on sen korkeus, d1 ja d2 ovat lävistäjän pituudet, α on sivujen välinen kulma ja γ on lävistäjien välinen kulma. Riippuen siitä, mitkä näistä arvoista ovat tiedossa, voit nopeasti määrittää tarvittavan alueen korvaamalla ne muuttujien tilalla.

Ympyrä

Säännöllisen ympyrän kohdalla vain säde ja halkaisija ovat tärkeitä pinta-alaa laskettaessa – ympärysmittaa ottamatta huomioon. Laskelmat suoritetaan seuraavien kaavojen mukaan:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Näin ollen π on vakio (yhtä kuin 3,14...), r on ympyrän säde ja d on sen halkaisija.

Nelikulma

Voit laskea kuperan nelikulmion kvadratuurin, kun tiedät sen diagonaalien pituuden ja niiden väliset kulmat, sivujen pituudet ja niiden väliset kulmat sekä piirrettyjen ja rajattujen ympyröiden säteet. Vastaavasti voidaan soveltaa yhtä neljästä kaavasta:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p ⋅ r.
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Näissä kaavoissa d1 ja d2 ovat nelikulmion lävistäjien pituudet, r on piirretyn ympyrän säde, p on puolikehä, α on lävistäjien välinen kulma ja θ on puolikas kahden vastakkaisen kulman summa tai (α + β) / 2.

Timantti

Tämän yksinkertaisen geometrisen kuvan pinta-alan laskemiseen käytetään kolmea kaavaa, joissa muuttujat ovat korkeus, sivujen pituudet, kulmat ja lävistäjät. Laskemiseen voit käyttää yhtä kolmesta yhtälöstä:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Niissä a on rombin sivun pituus, h on siihen lasketun korkeuden pituus, α on kahden sivun välinen kulma ja d1 ja d2 ovat lävistäjän pituudet.

Pusunsuunnikas

Voit määrittää kahdella yhdensuuntaisella sivulla olevan puolisuunnikkaan kvadratuurin, kun tiedät sen korkeuden ja puolet kantajen summasta sekä käyttämällä sivujen pituuksia - Heronin kaavan mukaan:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Näissä lausekkeissa a ja b ovat puolisuunnikkaan kannan pituudet, c ja d ovat sivupintojen pituuksia, h on korkeus ja p on puolikehä yhtä suuri kuin (a + b + c + d) / 2.

Suurin osa luetelluista kaavoista on helppo laskea paperilla tai laskimella, mutta helpoin vaihtoehto nykyään on selainpohjainen verkkosovellus, jossa kaikki muuttujat on jo määritetty, ja ei tarvitse kuin lisätä tunnetut numerot tyhjiin kenttiin.