Υπολογιστής εμβαδού

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν πώς να υπολογίζουν τα εμβαδά των απλών γεωμετρικών σχημάτων και καθώς οι πολιτισμοί αναπτύχθηκαν, εμφανίστηκαν όλο και περισσότεροι νέοι τύποι υπολογισμών.

Για παράδειγμα, σήμερα για ένα συνηθισμένο τρίγωνο υπάρχουν 7 τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού, καθένας από τους οποίους είναι σωστός όταν αντικαθιστούν αριθμητικές τιμές αντί για μεταβλητές. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τα περισσότερα άλλα σχήματα: κύκλος, τετράγωνο, τραπεζοειδές, παραλληλόγραμμο, ρόμβος.

Τρίγωνο

Θα πρέπει να ξεκινήσετε με ένα τρίγωνο - το βασικό γεωμετρικό σχήμα πάνω στο οποίο βασίζεται όλη η σύγχρονη τριγωνομετρία. Υπάρχουν 4 βασικοί τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός συνηθισμένου (μη ορθογώνιου) τριγώνου:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p ⋅ r.

Σε αυτούς τους τύπους, a, b και c είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου, h είναι το ύψος του, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και p είναι το ημι -περίμετρος ίση με - (a + b + c) / 2. Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, μπορείτε να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τρεις ακόμη τύπους:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ αμαρτία β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Συνεπώς, τα α, β και γ είναι οι γωνίες μεταξύ γειτονικών πλευρών. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου, συμπεριλαμβανομένων των ορθογώνιων και των ισόπλευρων.

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το εμβαδόν του μπορεί επίσης να βρεθεί από την υποτείνουσα και το ύψος, από την υποτείνουσα και την οξεία γωνία, από το σκέλος και την οξεία γωνία, καθώς και από την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και της υποτείνουσας.

Τετράγωνο και ορθογώνιο

Ένα άλλο απλό γεωμετρικό σχήμα είναι ένα τετράγωνο, του οποίου το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί γνωρίζοντας το μήκος μιας όψης ή μιας διαγώνιας. Οι τύποι για τους υπολογισμούς μοιάζουν με αυτό:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

Συνεπώς, το a είναι το μήκος του προσώπου και το d είναι το μήκος της διαγώνιου. Όσον αφορά το ορθογώνιο, μόνο μία επιλογή για τον υπολογισμό του τετραγώνου είναι δυνατή για αυτό: σύμφωνα με τον τύπο S = a ⋅ b, όπου a και b είναι τα μήκη των πλευρών.

Παραλληλόγραμμο

Σε ένα παραλληλόγραμμο, όλες οι γωνίες είναι διαφορετικές από τις 90 μοίρες, αλλά οι ζεύξεις μαζί δίνουν 180 μοίρες σε κάθε πλευρά. Δηλαδή, δύο απέναντι γωνίες είναι πάντα οξείες, και οι άλλες δύο είναι αμβλείες. Δεδομένων αυτών των χαρακτηριστικών, υπάρχουν 3 τύποι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός παραλληλογράμμου:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα,
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Συνεπώς, a και b είναι τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου, h είναι το ύψος του, d1 και d2 είναι τα μήκη των διαγωνίων, α είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών και γ είναι η γωνία μεταξύ των διαγωνίων. Ανάλογα με το ποιες από αυτές τις τιμές είναι γνωστές, μπορείτε να προσδιορίσετε γρήγορα την απαιτούμενη περιοχή αντικαθιστώντας τες στη θέση των μεταβλητών.

Κύκλος

Για έναν κανονικό κύκλο, μόνο η ακτίνα και η διάμετρος έχουν σημασία κατά τον υπολογισμό του εμβαδού - χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η περιφέρεια. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται σύμφωνα με τους τύπους:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Συνεπώς, το π είναι μια σταθερά (ίση με 3,14...), το r είναι η ακτίνα του κύκλου και το d είναι η διάμετρός του.

Τετράγωνο

Μπορείτε να υπολογίσετε το τετράγωνο ενός κυρτού τετράπλευρου γνωρίζοντας το μήκος των διαγωνίων του και τις μεταξύ τους γωνίες, τα μήκη των πλευρών και τις μεταξύ τους γωνίες, καθώς και τις ακτίνες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων. Κατά συνέπεια, μπορεί να εφαρμοστεί ένας από τους τέσσερις τύπους:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p ⋅ r.
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Σε αυτούς τους τύπους, d1 και d2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του τετραγώνου, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, p είναι η μισή περίμετρος, α είναι η γωνία μεταξύ των διαγωνίων και θ είναι το μισό άθροισμα δύο απέναντι γωνιών, ή (α + β) / 2.

Διαμάντι

Για τον υπολογισμό του εμβαδού αυτού του απλού γεωμετρικού σχήματος, χρησιμοποιούνται 3 τύποι, στους οποίους οι μεταβλητές είναι το ύψος, τα μήκη πλευρών, οι γωνίες και οι διαγώνιες. Για να υπολογίσετε, μπορείτε να εφαρμόσετε μία από τις τρεις εξισώσεις:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Σε αυτούς, το a είναι το μήκος της πλευράς του ρόμβου, το h το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτόν, το α είναι η γωνία μεταξύ των δύο πλευρών και τα d1 και d2 είναι τα μήκη των διαγωνίων.

Τραπεζοειδής

Μπορείτε να προσδιορίσετε το τετράγωνο ενός τραπεζοειδούς με δύο παράλληλες πλευρές, γνωρίζοντας το ύψος του και το μισό άθροισμα των βάσεων, καθώς και χρησιμοποιώντας τα μήκη των πλευρών - σύμφωνα με τον τύπο του Heron:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Σε αυτές τις εκφράσεις, a και b είναι τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς, c και d είναι τα μήκη των πλευρικών όψεων, h είναι το ύψος και p είναι η ημιπερίμετρος ίση με (a + b + γ + δ) / 2.

Οι περισσότεροι από τους τύπους που αναφέρονται είναι εύκολο να υπολογιστούν σε ένα κομμάτι χαρτί ή σε μια αριθμομηχανή, αλλά η πιο εύκολη επιλογή σήμερα είναι μια διαδικτυακή εφαρμογή που βασίζεται σε πρόγραμμα περιήγησης, στην οποία όλες οι μεταβλητές έχουν ήδη καθοριστεί και το μόνο που μένει είναι να προσθέσετε γνωστές αριθμοί στα κενά πεδία τους.