Калкулатор за площ

В ежедневието често се сблъскваме с такава характеристика като площ. Например - площта на масата, стените, апартамента, парцела, страната, континента. Прилага се само за плоски и условно плоски повърхности, които могат да бъдат определени чрез дължина/ширина, радиус/диаметър, диагонали, височини и ъгли.

Цял раздел от геометрията е посветен на това, изучавайки равнинни фигури: квадрати, правоъгълници, трапеци, ромби, кръгове, елипси, триъгълници - планиметрия.

Исторически контекст

Археологическите проучвания показват, че древните вавилонци са успели да измерят повърхността преди 4-5 хиляди години. Именно на вавилонската цивилизация се приписва откриването и прилагането на тази математическа характеристика, върху която впоследствие са изградени най-сложните изчисления: от географски до астрономически.

Първоначално площта е била използвана само за измерване на земята. Те бяха разделени на квадрати с еднакъв размер, което опростява отчитането на обработваемите земи и пасищата. Впоследствие характеристиката се използва в архитектурата и градоустройството.

Ако във Вавилон понятието "площ" е неразривно свързано с квадрат (по-късно - правоъгълник), тогава древните египтяни разширяват вавилонското учение и го прилагат към други, по-сложни фигури. И така, в древен Египет са знаели как да определят площта на паралелограмите, триъгълниците и трапецовете. Освен това, според същите основни формули, които се използват днес.

Например, площта на правоъгълник е изчислена като неговата дължина, умножена по неговата ширина, а площта на триъгълник е изчислена като половината от основата му, умножена по неговата височина. Когато се работи с по-сложни фигури (полиедри), те първо се разбиват на прости фигури и след това се изчисляват с помощта на основни формули, като се заместват измерените стойности. Този метод все още се използва в геометрията, въпреки наличието на специални сложни формули за полиедри.

Древна Гърция и Индия

Учените се научили да работят със заоблени фигури едва през III-II век пр.н.е. Става дума за древногръцките изследователи Евклид и Архимед и по-специално за фундаменталния труд "Начала" (кн. V и XII). В тях Евклид научно доказва, че площите на окръжностите се отнасят една към друга като квадратите на техните диаметри. Той също така разработи метод за изграждане на последователност от области, които с нарастването си постепенно "изчерпват" желаната област.

На свой ред Архимед за първи път в историята изчислява площта на сегмент от парабола и предлага новаторски идеи в научната си работа за изчисляване на завоите на спиралите. На него принадлежи фундаменталното откритие на вписани и описани окръжности, чиито радиуси могат да се използват за изчисляване на площите на много геометрични фигури с висока точност.

Индийските учени, учейки се от древните египтяни и гърци, продължават изследванията си през ранното Средновековие. И така, известният астроном и математик Брахмагупта през 7-ми век сл. н. е. въвежда такова понятие като „полупериметър“ (означено като p) и използвайки го, разработва нови формули за изчисляване на плоски четириъгълници, вписани в кръгове. Но всички формули са представени в метричните и други научни трудове не в текстова форма, а в графична форма: като диаграми и чертежи и са получили окончателния си вид много по-късно - едва през 17 век, в Европа.

Европа

След това, през 1604 г., методът на изчерпване, открит от Евклид, е обобщен от италианския учен Лука Валерио. Той доказа, че разликата между площите на вписаните и описаните фигури може да бъде направена по-малка от всяка дадена площ - при условие, че те са съставени от успоредници. И немският учен Йоханес Кеплер (Йоханес Кеплер) първо изчисли площта на елипсата, която му беше необходима за астрономически изследвания. Същността на метода беше да се разложи елипсата на много линии със стъпка от 1 градус.

От 19-20 век изследванията на областите на плоските фигури са практически изчерпани и представени във формата, в която все още съществуват. Само откритието на Херман Минковски, който предложи да се използва „обгръщащ слой“ за плоски фигури, който с дебелина, клоняща към нула, може да се счита за новаторски, позволява да се определи желаната повърхност с висока точност. Но този метод работи само ако се наблюдава адитивност и не може да се счита за универсален.

Как да намерите площта (формули за площ)

Древните египтяни са знаели как да изчисляват площите на прости геометрични фигури и с развитието на цивилизациите се появяват все повече и повече нови формули за изчисления.

Например, днес за обикновен триъгълник има 7 формули за изчисляване на площта, всяка от които е правилна при заместване на числови стойности вместо променливи. Същото може да се каже и за повечето други форми: кръг, квадрат, трапец, успоредник, ромб.

Триъгълник

Трябва да започнете с триъгълник - основната геометрична фигура, върху която е изградена цялата съвременна тригонометрия. Има 4 основни формули за изчисляване на площта на обикновен (не правоъгълен) триъгълник:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

В тези формули a, b и c са дължините на страните на триъгълника, h е неговата височина, r е радиусът на вписаната окръжност, R е радиусът на описаната окръжност и p е полу -периметър, равен на - (a + b + c) / 2. Използвайки тригонометрията, можете да определите площта на триъгълник, като използвате още три формули:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Съответно α, β и γ са ъглите между съседни страни. С помощта на тези формули можете да изчислите площта на всеки триъгълник, включително правоъгълен и равностранен.

Ако триъгълникът е правоъгълен, неговата площ може да се намери и от хипотенузата и височината, от хипотенузата и острия ъгъл, от катета и острия ъгъл, а също и от радиуса на вписаната окръжност и хипотенузата.

Квадрат и правоъгълник

Друга проста геометрична фигура е квадрат, чиято площ може да се изчисли, като се знае дължината на лице или диагонал. Формулите за изчисления изглеждат така:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Съответно a е дължината на лицето, а d е дължината на диагонала. Що се отнася до правоъгълника, за него е възможна само една опция за изчисляване на квадратурата: по формулата S = a ⋅ b, където a и b са дължините на страните.

Успоредник

В успоредник всички ъгли са различни от 90 градуса, но сдвоени заедно дават 180 градуса от всяка страна. Тоест два противоположни ъгъла винаги са остри, а другите два са тъпи. Като се имат предвид тези характеристики, има 3 формули за изчисляване на площта на успоредник:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Съответно a и b са дължините на страните на успоредника, h е неговата височина, d1 и d2 са дължините на диагоналите, α е ъгълът между страните и γ е ъгълът между диагоналите. В зависимост от това кои от тези стойности са известни, можете бързо да определите необходимата област, като ги замените на мястото на променливи.

Кръг

За правилен кръг само радиусът и диаметърът имат значение при изчисляване на площта - без да се взема предвид обиколката. Изчисленията се извършват по формулите:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Съответно π е константа (равна на 3,14...), r е радиусът на окръжността и d е нейният диаметър.

Четириъгълник

Можете да изчислите квадратурата на изпъкнал четириъгълник, като знаете дължината на неговите диагонали и ъглите между тях, дължините на страните и ъглите между тях, както и радиусите на вписаната и описаната окръжност. Съответно може да се приложи една от четирите формули:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

В тези формули d1 и d2 са дължините на диагоналите на четириъгълника, r е радиусът на вписаната окръжност, p е полупериметърът, α е ъгълът между диагоналите и θ е полупериметърът сбор от два противоположни ъгъла или (α + β) / 2.

Диамант

За да се изчисли площта на тази проста геометрична фигура, се използват 3 формули, в които променливите са височина, дължини на страните, ъгли и диагонали. За да изчислите, можете да приложите едно от трите уравнения:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

В тях a е дължината на страната на ромба, h е дължината на спуснатата към нея височина, α е ъгълът между двете страни, а d1 и d2 са дължините на диагоналите.

Трапец

Можете да определите квадратурата на трапец с две успоредни страни, като знаете неговата височина и половината от сбора на основите, както и като използвате дължините на страните - според формулата на Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

В тези изрази a и b са дължините на основите на трапеца, c и d са дължините на страничните стени, h е височината и p е полупериметърът, равен на (a + b + c + d) / 2.

Повечето от изброените формули са лесни за изчисляване на лист хартия или калкулатор, но най-лесният вариант днес е базирано на браузър онлайн приложение, в което всички променливи вече са посочени и остава само да добавите известни числа в техните празни полета.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Калкулатор за площ