Sahə kalkulyatoru

Gündəlik həyatda biz tez-tez sahə kimi bir xüsusiyyətlə qarşılaşırıq. Məsələn - masanın sahəsi, divarlar, mənzil, sahə, ölkə, qitə. Bu, yalnız uzunluq/en, radius/diametr, diaqonal, hündürlük və bucaqlarla müəyyən edilə bilən düz və şərti olaraq düz səthlərə aiddir.

Buna həndəsənin bütün bölməsi həsr olunub, müstəvi fiqurlar öyrənilir: kvadratlar, düzbucaqlılar, trapezoidlər, romblar, dairələr, ellipslər, üçbucaqlar - planimetriya.

Tarixi fon

Arxeoloji tədqiqatlar göstərir ki, qədim babillilər 4-5 min il əvvəl səthin sahəsini ölçə biliblər. Məhz Babil sivilizasiyası sonradan ən mürəkkəb hesablamaların aparıldığı bu riyazi xarakteristikanın kəşfi və həyata keçirilməsinə borcludur: coğrafidan astronomikə qədər.

Əvvəlcə ərazi yalnız torpağı ölçmək üçün istifadə olunurdu. Onlar eyni ölçülü kvadratlara bölündü, bu da əkin sahələrinin və otlaqların uçotunu sadələşdirdi. Sonralar bu xüsusiyyət memarlıq və şəhərsalmada istifadə edilmişdir.

Əgər Babildə "sahə" anlayışı kvadratla (sonralar - düzbucaqlı) ayrılmaz şəkildə bağlı idisə, qədim misirlilər Babil təlimini genişləndirdilər və onu başqa, daha mürəkkəb fiqurlara tətbiq etdilər. Beləliklə, Qədim Misirdə paraleloqramların, üçbucaqların və trapesiyaların sahəsini necə təyin edəcəyini bilirdilər. Üstəlik, bu gün istifadə edilən eyni əsas düsturlara görə.

Məsələn, düzbucaqlının sahəsi uzunluğunun eni ilə, üçbucağın sahəsi isə təməlinin yarısı ilə hündürlüyü kimi hesablanmışdır. Daha mürəkkəb fiqurlarla (polihedra) işləyərkən onlar əvvəlcə sadə fiqurlara bölünür, sonra isə ölçülmüş dəyərləri əvəz etməklə əsas düsturlardan istifadə etməklə hesablanırdı. Çoxüzlülər üçün xüsusi mürəkkəb düsturların olmasına baxmayaraq, bu üsul hələ də həndəsədə istifadə olunur.

Qədim Yunanıstan və Hindistan

Alimlər dairəvi fiqurlarla işləməyi yalnız eramızdan əvvəl III-II əsrlərdə öyrənmişlər. Söhbət qədim yunan tədqiqatçıları Evklid və Arximeddən, xüsusən də “Başlanğıclar” adlı fundamental əsərdən (V və XII kitablar) gedir. Onlarda Evklid elmi şəkildə sübut etdi ki, dairələrin sahələri bir-biri ilə onların diametrlərinin kvadratları kimi bağlıdır. O, həmçinin sahələr ardıcıllığının qurulması metodunu işləyib hazırlayıb ki, onlar böyüdükcə arzu olunan ərazini tədricən “tükənir”.

Öz növbəsində, Arximed tarixdə ilk dəfə olaraq parabolanın seqmentinin sahəsini hesablamış və spirallərin fırlanmalarının hesablanmasına dair elmi işində innovativ ideyalar irəli sürmüşdür. Radiuslarından bir çox həndəsi fiqurların sahələrini yüksək dəqiqliklə hesablamaq üçün istifadə oluna bilən, həndəsi və hüdudlu dairələrin fundamental kəşfi məhz ona məxsusdur.

Hindistan alimləri qədim misirlilərdən və yunanlardan öyrənərək tədqiqatlarını erkən orta əsrlərdə davam etdirmişlər. Beləliklə, eramızın 7-ci əsrində məşhur astronom və riyaziyyatçı Brahmagupta "yarı perimetr" (p kimi qeyd olunur) kimi bir anlayış təqdim etdi və ondan istifadə edərək dairələrə yazılmış düz dördbucaqlıların hesablanması üçün yeni düsturlar hazırladı. Amma bütün düsturlar “Metrik”də və digər elmi əsərlərdə mətndə deyil, qrafik formada təqdim edilmişdi: diaqram və çertyoj kimi və son formasını çox sonralar – yalnız 17-ci əsrdə Avropada almışdır.

Avropa

Daha sonra 1604-cü ildə Evklidin kəşf etdiyi tükənmə üsulu italyan alimi Luka Valerio tərəfindən ümumiləşdirildi. O, sübut etdi ki, yazılı və dairəvi fiqurun sahələri arasındakı fərqi paraleloqramlardan təşkil etmək şərti ilə hər hansı bir sahədən daha kiçik etmək olar. Alman alimi İohannes Kepler (Johannes Kepler) əvvəlcə astronomik tədqiqatlar üçün lazım olan ellipsin sahəsini hesabladı. Metodun mahiyyəti ellipsi 1 dərəcə addımla çoxlu sətirlərə parçalamaqdan ibarət idi.

19-20-ci əsrlərdə yastı fiqurların sahələrinə dair tədqiqatlar praktiki olaraq tükənmiş və hələ də mövcud olduğu formada təqdim edilmişdir. Yalnız qalınlığı sıfıra yaxın olan yenilikçi sayıla bilən düz fiqurlar üçün “bürüyən təbəqə”dən istifadə etməyi təklif edən Herman Minkowskinin kəşfi istənilən səth sahəsini yüksək dəqiqliklə müəyyən etməyə imkan verir. Lakin bu üsul yalnız əlavələr müşahidə edildikdə işləyir və universal hesab edilə bilməz.

Sahəni necə hesablamaq olar (sahə düsturları)

Qədim misirlilər sadə həndəsi fiqurların sahələrini hesablamağı bilirdilər və sivilizasiyalar inkişaf etdikcə hesablamalar üçün getdikcə daha çox yeni düsturlar meydana çıxdı.

Məsələn, bu gün adi üçbucaq üçün sahənin hesablanması üçün 7 düstur var ki, onların hər biri dəyişənlərin yerinə ədədi dəyərləri əvəz edərkən düzgündür. Eyni şeyi əksər digər formalar haqqında da demək olar: dairə, kvadrat, trapesiya, paraleloqram, romb.

Üçbucaq

Siz üçbucaqdan başlamalısınız - bütün müasir triqonometriyanın üzərində qurulduğu əsas həndəsi fiqur. Adi (düzbucaqlı olmayan) üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün 4 əsas düstur var:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Bu düsturlarda a, b və c üçbucağın tərəflərinin uzunluqları, h - hündürlüyü, r - daxili dairənin radiusu, R - çevrənin radiusu, p - yarımdır. -perimetrə bərabərdir - (a + b + c) / 2. Triqonometriyadan istifadə edərək daha üç düsturdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini təyin edə bilərsiniz:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Müvafiq olaraq, α, β və γ bitişik tərəflər arasındakı bucaqlardır. Bu düsturlardan istifadə edərək siz düzbucaqlı və bərabərbucaqlılar daxil olmaqla istənilən üçbucağın sahəsini hesablaya bilərsiniz.

Əgər üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdırsa, onun sahəsini hipotenuza və hündürlükdən, hipotenuza və iti bucaqdan, ayaq və iti bucaqdan, həmçinin daxilə yazılmış dairənin və hipotenuzanın radiusundan da tapmaq olar.< /p>

Kvadrat və Düzbucaqlı

Digər sadə həndəsi fiqur kvadratdır, onun sahəsi üzün və ya diaqonalın uzunluğunu bilməklə hesablana bilər. Hesablamalar üçün düsturlar belə görünür:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Müvafiq olaraq, a üzün uzunluğu, d isə diaqonalın uzunluğudur. Düzbucaqlıya gəlincə, onun üçün kvadratın hesablanması üçün yalnız bir variant mümkündür: S = a ⋅ b düsturuna əsasən, burada a və b tərəflərin uzunluqlarıdır.

Paralleloqram

Paralleloqramda bütün bucaqlar 90 dərəcədən fərqlidir, lakin birləşdikdə hər tərəfdən 180 dərəcə verir. Yəni iki əks bucaq həmişə iti, digər ikisi isə kütdür. Bu xüsusiyyətləri nəzərə alaraq, paraleloqramın sahəsini hesablamaq üçün 3 düstur var:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Müvafiq olaraq, a və b paraleloqramın tərəflərinin uzunluqları, h onun hündürlüyü, d1 və d2 diaqonalların uzunluqları, α tərəflər arasındakı bucaq, γ diaqonallar arasındakı bucaqdır. Bu dəyərlərdən hansının məlum olmasından asılı olaraq, dəyişənlərin yerinə onları əvəz etməklə tələb olunan sahəni tez müəyyən edə bilərsiniz.

Dairə

Mütləq dairə üçün sahəni hesablayarkən yalnız radius və diametr vacibdir - çevrə nəzərə alınmadan. Hesablamalar düsturlara uyğun aparılır:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Müvafiq olaraq, π sabitdir (3,14-ə bərabərdir...), r dairənin radiusu, d isə onun diametridir.

Dördbucaqlı

Siz qabarıq dördbucaqlının diaqonallarının uzunluğunu və aralarındakı bucaqları, tərəflərin uzunluqlarını və aralarındakı bucaqları, eləcə də daxilə yazılmış və ətrafa çəkilmiş dairələrin radiuslarını bilməklə onun kvadraturasını hesablaya bilərsiniz. Müvafiq olaraq, dörd düsturdan biri tətbiq oluna bilər:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Bu düsturlarda d1 və d2 dördbucaqlının diaqonallarının uzunluqları, r daxili dairənin radiusu, p yarım perimetri, α diaqonallar arasındakı bucaq və θ yarım- iki əks bucağın cəmi və ya (α + β) / 2.

Almaz

Bu sadə həndəsi fiqurun sahəsini hesablamaq üçün dəyişənlərin hündürlük, yan uzunluqlar, bucaqlar və diaqonallar olduğu 3 düstur istifadə olunur. Hesablamaq üçün üç tənlikdən birini tətbiq edə bilərsiniz:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Onlarda a rombun tərəfinin uzunluğu, h ona endirilən hündürlüyün uzunluğu, α iki tərəf arasındakı bucaq, d1 və d2 diaqonalların uzunluqlarıdır.

Trapesoid

Hündürlüyünü və əsaslarının cəminin yarısını bilməklə, həmçinin tərəflərin uzunluqlarından istifadə etməklə iki paralel tərəfi olan trapezoidin kvadratını təyin edə bilərsiniz - Heron düsturuna əsasən:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a - b|) ⋅ √((p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - a - c) ⋅ (p - a - d)).

Bu ifadələrdə a və b trapezoidin əsaslarının uzunluqları, c və d yan üzlərin uzunluqları, h hündürlük və p (a + b +) bərabər olan yarım perimetrdir. c + d) / 2.

Sadalanan düsturların əksəriyyətini kağız parçası və ya kalkulyatorda hesablamaq asandır, lakin bu gün ən asan seçim bütün dəyişənlərin artıq qeyd olunduğu brauzer əsaslı onlayn proqramdır və qalan yalnız məlum olanları əlavə etməkdir. nömrələri boş sahələrə köçürün.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Sahə kalkulyatoru