面积计算器

在日常生活中，我们经常会遇到面积这样的特征。例如 - 桌子、墙壁、公寓、地块、国家、大陆的面积。它仅适用于可由长度/宽度、半径/直径、对角线、高度和角度定义的平坦表面和条件平坦表面。

几何学的整个部分都致力于此，研究平面图形：正方形、长方形、梯形、菱形、圆形、椭圆形、三角形 - 平面测量。

历史背景

考古研究表明，古巴比伦人在四五千年前就已经能够测量表面积。正是巴比伦文明发现并实现了这一数学特征，随后建立了最复杂的计算：从地理到天文。

最初，面积仅用于测量土地。它们被分成相同大小的正方形，这简化了农田和牧场的核算。随后，这一特性被运用到建筑和城市规划中。

如果在巴比伦，“面积”的概念与正方形（后来的矩形）有着千丝万缕的联系，那么古埃及人则扩展了巴比伦的教学并将其应用于其他更复杂的图形。所以，在古埃及他们知道如何确定平行四边形、三角形和梯形的面积。此外，根据今天使用的相同基本公式。

例如，矩形的面积计算为长度乘以宽度，三角形的面积计算为底边乘以高度的一半。当处理更复杂的图形（多面体）时，首先将它们分解为简单的图形，然后使用基本公式进行计算，代入测量值。尽管存在特殊的复杂多面体公式，但这种方法仍在几何中使用。

古希腊和印度

直到公元前三至二世纪，科学家们才学会使用圆形图形。我们谈论的是古希腊研究人员欧几里得和阿基米德，特别是基础著作《开端》（第五卷和第十二卷）。在其中，欧几里得科学地证明了圆的面积与其直径的平方相关。他还开发了一种构建一系列区域的方法，随着区域的增长，逐渐“耗尽”所需的区域。

反过来，阿基米德历史上首次计算了抛物线段的面积，并在计算螺旋圈数的科学工作中提出了创新的想法。他是内切圆和外接圆的基本发现，利用内切圆和外接圆的半径可以高精度计算许多几何形状的面积。

印度科学家向古埃及人和希腊人学习，在中世纪早期继续进行研究。于是，公元7世纪著名天文学家、数学家婆罗摩笈多提出了“半周长”（记为p）这样的概念，并利用它发展出了计算圆内切平面四边形的新公式。但所有的公式在《公制》和其他科学著作中都不是以文本形式呈现，而是以图形形式：如图表和图画，并且在很久以后才得到最终形式 - 直到 17 世纪的欧洲。

欧洲

然后，1604年，欧几里得发现的穷举法被意大利科学家卢卡·瓦莱里奥推广。他证明了内接图形和外接图形的面积之差可以小于任何给定面积，只要它们由平行四边形组成。而德国科学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）首先计算出了椭圆的面积，这是他进行天文学研究所需要的。该方法的本质是将椭圆分解为多条直线，步长为1度。

从 19 世纪到 20 世纪，对平面图形面积的研究几乎已经耗尽，并以它们仍然存在的形式呈现。只有赫尔曼·明科夫斯基（Herman Minkowski）的发现才可以被认为是创新的，他提出对平面图形使用“包络层”，其厚度趋于零，才可以高精度地确定所需的表面积。但这种方法只有在观察到可加性的情况下才有效，不能被认为是通用的。

古埃及人知道如何计算简单几何形状的面积，并且随着文明的发展，出现了越来越多的新计算公式。

例如，今天对于一个普通的三角形，有 7 个计算面积的公式，当用数值代替变量时，每个公式都是正确的。对于大多数其他形状也可以这样说：圆形、正方形、梯形、平行四边形、菱形。

三角形

您应该从三角形开始 - 所有现代三角学都建立在其上的基本几何图形。有 4 个基本公式可以计算普通（非矩形）三角形的面积：

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h。
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c))。
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R。
S = p ⋅ r。

式中，a、b、c为三角形三边长，h为高，r为内切圆半径，R为外接圆半径，p为半三角形- 周长等于 - (a + b + c) / 2。利用三角学，您可以使用另外三个公式来确定三角形的面积：

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ。
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β。
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α。

因此，α、β、γ 是相邻边之间的角度。使用这些公式，您可以计算任何三角形的面积，包括直角三角形和等边三角形。

如果三角形是直角三角形，还可以根据斜边和高、斜边和锐角、边和锐角、以及内切圆和斜边的半径求出其面积。

正方形和矩形

另一个简单的几何图形是正方形，可以通过知道面或对角线的长度来计算其面积。计算公式如下：

S = a²。
S = (1/2) ⋅ d²。

因此，a是面的长度，d是对角线的长度。对于矩形，计算正交的方法只有一种：根据公式 S = a ⋅ b，其中 a 和 b 是边长。

平行四边形

在平行四边形中，所有角度都不是 90 度，但配对在一起每边都是 180 度。也就是说，两个对角始终是锐角，另外两个是钝角。鉴于这些特征，有 3 个计算平行四边形面积的公式：

S = a ⋅ h。
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ。

因此，a和b是平行四边形的边长，h是其高度，d1和d2是对角线的长度，α是边之间的角度，γ是对角线之间的角度。根据已知的这些值，您可以通过用它们代替变量来快速确定所需的区域。

圆圈

对于规则的圆，在计算面积时只有半径和直径很重要，而不考虑周长。根据以下公式进行计算：

S = π ⋅ r²。
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d²。

因此，π 是一个常数（等于 3.14...），r 是圆的半径，d 是圆的直径。

四边形

通过知道凸四边形的对角线长度和它们之间的角度、边长和它们之间的角度以及内切圆和外接圆的半径，您可以计算凸四边形的正交。因此，可以应用四个公式之一：

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α。
S = p ⋅ r。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ)。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d))。

在这些公式中，d1和d2是四边形对角线的长度，r是内切圆的半径，p是半周长，α是对角线之间的角度，θ是半周长两个对角之和，或 (α + β) / 2。

钻石

为了计算这个简单几何图形的面积，使用了3个公式，其中变量是高度、边长、角度和对角线。要进行计算，您可以应用三个方程之一：

S = a ⋅ h。
S = a² ⋅ sinα。
S = (1/2) × d1 × d2。

其中，a为菱形的边长，h为菱形降低的高度的长度，α为两条边之间的角度，d1和d2为对角线的长度。

梯形

您可以确定具有两条平行边的梯形的正交，知道梯形的高度和底边之和的一半，以及使用边长 - 根据海伦公式：

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h。
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d))。

在这些表达式中，a和b是梯形的底边长度，c和d是侧面长度，h是高度，p是半周长，等于(a + b + c + d) / 2。

大多数列出的公式都很容易在一张纸或计算器上计算，但当今最简单的选择是基于浏览器的在线应用程序，其中所有变量都已指定，剩下的就是添加已知的变量数字到其空字段。

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