Калькулятор площі

У повсякденному житті ми часто стикаємося з такою характеристикою, як площа. Наприклад, площа столу, стін, квартири, ділянки, країни, континенту. Вона застосовується тільки до плоских і умовно плоских поверхонь, які можна визначити за довжиною/шириною, радіусом/діаметром, діагоналями, висотами та кутами.

Цьому присвячений цілий розділ геометрії, що вивчає плоскі фігури: квадрати, прямокутники, трапеції, ромби, кола, еліпси, трикутники — планиметрія.

Історична довідка

Археологічні дослідження вказують на те, що вимірювати площу поверхонь стародавні вавилоняни вміли ще 4-5 тисяч років тому. Саме вавилонської цивілізації приписують відкриття та впровадження цієї математичної характеристики, на якій згодом були побудовані найскладніші обчислення: починаючи з географічних та закінчуючи астрономічними.

Спочатку площа використовувалася лише для вимірювання земельних ділянок. Вони ділилися на квадрати однакової величини, що спрощувало облік посівних угідь та пасовищ. Згодом характеристика знайшла застосування в архітектурі та містобудуванні.

Якщо у Вавилоні поняття «площа» було нерозривно пов'язане з квадратом (пізніше — прямокутником), то давні єгиптяни розширили вавилонське вчення і застосували його до інших складніших постатей. Так, у Стародавньому Єгипті вміли визначати площу паралелограмів, трикутників та трапецій. Причому за тими ж основними формулами, які застосовуються сьогодні.

Наприклад, площа прямокутника розраховувалася як його довжина помножена на ширину, а площа трикутника - як половина його основи, помножена на висоту. Працюючи з складнішими фігурами (багатогранниками) їх спочатку розбивали на прості фігури, та був розраховували за базовими формулами, підставляючи виміряні значення. Цей метод застосовується у геометрії досі, незважаючи на наявність спеціальних складних формул для багатогранників.

Стародавня Греція та Індія

З округлими постатями вчені навчилися працювати лише у III-II століттях до нашої ери. Йдеться про давньогрецьких дослідників Евкліда та Архімеда, і зокрема — про фундаментальну працю «Початку» (книги V і XII). Вони Евклид науково довів, що площі кіл ставляться друг до друга, як квадрати їх діаметрів. Він також розробив метод побудови послідовності площ, які при наростанні поступово «вичерпують» потрібну площу.

У свою чергу, Архімед вперше в історії порахував площу сегмента параболи, і висунув у своїй науковій праці інноваційні ідеї щодо розрахунку витків спіралей. Саме йому належить фундаментальне відкриття вписаних та описаних кіл, за радіусами яких можна з високою точністю обчислювати площі багатьох геометричних фігур.

Індійські вчені, які почерпнули знання у стародавніх єгиптян і греків, продовжили дослідження за часів раннього Середньовіччя. Так, знаменитий астроном і математик Брахмагупта в VII столітті нашої ери ввів в обіг таке поняття як «напівпериметр» (позначається як p), і з його застосуванням розробив нові формули для обчислення плоских чотирикутників, вписаних у коло. Але всі формули були представлені в «Метриці» та інших наукових працях не в текстовому, а в графічному вигляді: як схеми та малюнки, і набули свого остаточного вигляду набагато пізніше — лише в XVII столітті, в Європі.

Європа

Тоді ж, 1604 року — метод вичерпування, відкритий Евклідом, був узагальнений італійським ученим Лукою Валеріо. Він довів, що різницю між площами вписаної та описаної фігур можна зробити менше будь-якої даної площі — за умови, що вони складені з паралелограмів. А німецький вчений Йоган Кеплер (Johannes Kepler) вперше розрахував площу еліпса, яка була потрібна йому для астрономічних досліджень. Суть методу полягала у розкладанні еліпса на безліч ліній з кроком 1 градус.

Станом на XIX-XX століття дослідження площ плоских постатей були практично вичерпані та представлені у тому вигляді, в якому вони існують досі. Інноваційним можна вважати лише відкриття Германа Мінковського, який запропонував застосовувати для плоских фігур «огортаючий шар», який при товщині, що прагне до нуля, дозволяє з високою точністю визначати площу поверхні, що шукається. Але цей метод працює тільки при дотриманні адитивності, і не може вважатися універсальним.

Як знайти площу (формули площі)

Обчислювати площі простих геометричних постатей вміли ще давні єгиптяни, і в міру розвитку цивілізацій з'являлися нові і нові формули для розрахунків.

Наприклад, сьогодні для звичайного трикутника існує 7 формул обчислення площі, кожна з яких є вірною при підстановці числових значень замість змінних. Те ж саме можна сказати і про більшість інших фігур: коло, квадрат, трапецію, паралелограму, ромбу.

Трикутник

Почати варто з трикутника — базової геометричної фігури, на якій побудовано всю сучасну тригонометрію. Для обчислення площі звичайного (не прямокутного) трикутника існує 4 основні формули:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

У цих формулах a, b і c — довжини сторін трикутника, h — його висота, r — радіус вписаного кола, R — радіус описаного кола, а p — напівпериметр, рівний — (a + b + c)/2. З використанням тригонометрії можна визначити площу трикутника ще за трьома формулами:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Відповідно, α, β та γ — кути між прилеглими сторонами. Використовуючи ці формули, можна обчислити площу будь-якого трикутника, у тому числі прямокутного та рівностороннього.

Якщо трикутник — прямокутний, його площу також можна знайти по гіпотенузі та висоті, по гіпотенузі та гострому куту, по катету та гострому куту, а також по радіусу вписаного кола та гіпотенузі.

Квадрат та прямокутник

Ще одна проста геометрична фігура — квадрат, площу якого можна обчислити, знаючи довжину грані чи діагоналі. Формули для розрахунків виглядають так:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Відповідно, a — це довжина грані, а d — довжина діагоналі. Щодо прямокутника, то для нього можливий лише один варіант розрахунку квадратури: за формулою S = a ⋅ b, де a і b — довжини сторін.

Паралелограм

У паралелограмі всі кути відрізняються від 90 градусів, але парно дають по 180 градусів з кожного боку. Тобто, два протилежні кути завжди гострі, а два інші — тупі. З урахуванням цих особливостей існує 3 формули для обчислення площі паралелограма:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sin α,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Відповідно, a і b - це довжини сторін паралелограма, h - його висота, d1 і d2 - довжини діагоналей, α - кут між сторонами і γ - кут між діагоналями. Залежно від того, які з цих значень відомі, можна швидко визначити площу, яку вони шукають, підставивши їх замість змінних.

Коло

Для правильного кола при розрахунку площі мають значення лише радіус і діаметр — без урахування довжини кола. Розрахунки проводяться за формулами:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Відповідно, π — це константа (рівна 3,14...), r — радіус кола, а d — її діаметр.

Чотирикутник

Порахувати квадратуру опуклого чотирикутника можна, знаючи довжину його діагоналей та кутів між ними, довжини сторін та кутів між ними, а також радіуси вписаного та описаного кіл. Відповідно, можна застосувати одну з чотирьох формул:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

У цих формулах d1 та d2 — довжини діагоналей чотирикутника, r — радіус вписаного кола, p — напівпериметр, α — кут між діагоналями, а θ — напівсума двох протилежних кутів, або (α + β) / 2.

Ромб

Для обчислення площі цієї простої геометричної фігури використовуються 3 формули, в яких змінними є висота, довжини сторін, кути та діагоналі. Для розрахунку можна застосувати одне з трьох рівнянь:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sin α.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

У них a — довжина сторони ромба, h — довжина опущеної до неї висоти, α — кут між двома сторонами, а d1 та d2 — довжини діагоналей.

Трапеція

Визначити квадратуру трапеції з двома паралельними сторонами можна, знаючи її висоту та напівсуму підстав, а також за допомогою довжин сторін — за формулою Герона:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

У цих виразах a та b — довжини основ трапеції, c і d — довжини бічних граней, h — висота, а p — напівпериметр, рівний (a + b + c + d) / 2.

Більшість з перерахованих формул легко рахуються на аркуші паперу або калькуляторі, але найпростіший варіант на сьогоднішній день — браузерний онлайн-додаток, в якому всі змінні вже вказані, і залишається тільки додати до їх порожніх полів відомі числа.

Калькулятор площі

Інші інструменти