Alan hesaplayıcı

Günlük hayatta alan gibi bir özellikle sıklıkla karşılaşırız. Örneğin - masanın alanı, duvarlar, daire, arsa, ülke, kıta. Yalnızca uzunluk/genişlik, yarıçap/çap, köşegenler, yükseklikler ve açılarla tanımlanabilen düz ve şartlı olarak düz yüzeyler için geçerlidir.

Geometrinin bütün bir bölümü buna ayrılmıştır ve düzlem şekilleri inceler: kareler, dikdörtgenler, yamuklar, eşkenar dörtgenler, daireler, elipsler, üçgenler - planimetri.

Tarihsel arka plan

Arkeolojik araştırmalar, eski Babillilerin yüzey alanını 4-5 bin yıl önce ölçebildiklerini gösteriyor. Coğrafiden astronomik hesaplamalara kadar en karmaşık hesaplamaların üzerine inşa edildiği bu matematiksel özelliğin keşfi ve uygulanmasıyla tanınan Babil uygarlığıdır.

Başlangıçta alan yalnızca araziyi ölçmek için kullanılıyordu. Aynı büyüklükteki karelere bölünmüşlerdi, bu da tarlaların ve meraların muhasebesini basitleştirdi. Daha sonra bu özellik mimaride ve şehir planlamasında kullanıldı.

Babil'de "alan" kavramı ayrılmaz bir şekilde bir kareyle (daha sonra - bir dikdörtgen) bağlantılıysa, o zaman eski Mısırlılar Babil öğretisini genişletti ve onu diğer, daha karmaşık figürlere uyguladı. Böylece, eski Mısır'da paralelkenarların, üçgenlerin ve yamukların alanını nasıl belirleyeceklerini biliyorlardı. Üstelik bugün kullanılan aynı temel formüllere göre.

Örneğin, bir dikdörtgenin alanı, uzunluğu çarpı genişliği olarak hesaplandı ve bir üçgenin alanı, tabanının yarısı çarpı yüksekliği olarak hesaplandı. Daha karmaşık rakamlarla (çokyüzlüler) çalışırken, önce basit rakamlara bölündüler ve ardından ölçülen değerleri değiştirerek temel formüller kullanılarak hesaplandılar. Bu yöntem, çokyüzlüler için özel karmaşık formüllerin varlığına rağmen geometride hala kullanılmaktadır.

Antik Yunanistan ve Hindistan

Bilim adamları yuvarlak rakamlarla çalışmayı ancak MÖ III-II yüzyıllarda öğrendiler. Eski Yunan araştırmacıları Öklid ve Arşimet'ten ve özellikle "Başlangıçlar" adlı temel eserden (V ve XII. Kitaplar) bahsediyoruz. Onlarda Öklid, dairelerin alanlarının çaplarının kareleri kadar birbiriyle ilişkili olduğunu bilimsel olarak kanıtladı. Ayrıca, büyüdükçe istenen alanı kademeli olarak "tükenen" bir dizi alan inşa etmek için bir yöntem geliştirdi.

Arşimet ise tarihte ilk kez bir parabol parçasının alanını hesapladı ve spirallerin dönüşlerini hesaplama konusundaki bilimsel çalışmasında yenilikçi fikirler ortaya koydu. Yarıçapları birçok geometrik şeklin alanlarını yüksek doğrulukla hesaplamak için kullanılabilen yazılı ve çevrelenmiş çemberlerin temel keşfi ona aittir.

Eski Mısırlılar ve Yunanlılardan öğrenen Hintli bilim adamları, Orta Çağ'ın başlarında araştırmalarına devam ettiler. Böylece, MS 7. yüzyılda ünlü astronom ve matematikçi Brahmagupta, "yarı-çevre" (p ile gösterilir) gibi bir kavram ortaya attı ve onu kullanarak, daireler içine çizilmiş düz dörtgenleri hesaplamak için yeni formüller geliştirdi. Ancak tüm formüller "Metrik" ve diğer bilimsel çalışmalarda metin olarak değil, grafik biçiminde sunuldu: diyagramlar ve çizimler olarak ve son şeklini çok sonra aldı - yalnızca 17. yüzyılda, Avrupa'da.

Avrupa

Ardından 1604 yılında Öklid'in keşfettiği tükenme yöntemi İtalyan bilim adamı Luca Valerio tarafından genelleştirildi. Yazılı ve çevrelenmiş bir şeklin alanları arasındaki farkın, paralelkenarlardan oluşması koşuluyla, herhangi bir alandan daha küçük yapılabileceğini kanıtladı. Ve Alman bilim adamı Johannes Kepler (Johannes Kepler) ilk önce astronomik araştırma için ihtiyaç duyduğu elipsin alanını hesapladı. Yöntemin özü, elipsi 1 derecelik adımlarla birçok çizgiye ayırmaktı.

19.-20. yüzyıllardan itibaren düz figürlerin alanları ile ilgili çalışmalar pratik olarak tükenmiş ve halen var olan formda sunulmuştur. Yalnızca, kalınlığı sıfıra yaklaşan ve yenilikçi kabul edilebilecek düz şekiller için bir "kuşatan katman" kullanmayı öneren Herman Minkowski'nin keşfi, istenen yüzey alanını yüksek doğrulukla belirlemeyi mümkün kılar. Ancak bu yöntem yalnızca toplama gözlenirse işe yarar ve evrensel kabul edilemez.

Alan nasıl bulunur (alan formülleri)

Eski Mısırlılar basit geometrik şekillerin alanlarını nasıl hesaplayacaklarını biliyorlardı ve uygarlıklar geliştikçe hesaplamalar için giderek daha fazla yeni formül ortaya çıktı.

Örneğin, bugün sıradan bir üçgen için, alanı hesaplamak için 7 formül vardır ve bunların her biri, değişkenler yerine sayısal değerler yerine kullanıldığında doğrudur. Aynı şey diğer şekiller için de söylenebilir: daire, kare, yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen.

Üçgen

Tüm modern trigonometrinin üzerine inşa edildiği temel geometrik şekil olan bir üçgenle başlamalısınız. Sıradan (dikdörtgen olmayan) bir üçgenin alanını hesaplamak için 4 temel formül vardır:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Bu formüllerde a, b ve c üçgenin kenar uzunlukları, h yüksekliği, r çevreli çemberin yarıçapı, R çevreli çemberin yarıçapı ve p yarı yarıçaptır. -çevre - (a + b + c) / 2'ye eşittir. Trigonometri kullanarak, bir üçgenin alanını üç formül daha kullanarak belirleyebilirsiniz:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Buna göre α, β ve γ bitişik kenarlar arasındaki açılardır. Bu formülleri kullanarak, dik açılı ve eşkenar olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.

Üçgen bir dik üçgen ise alanı hipotenüs ve yükseklikten, hipotenüs ve dar açıdan, bacak ve dar açıdan ve ayrıca yazılı dairenin yarıçapı ve hipotenüsten bulunabilir.

Kare ve Dikdörtgen

Başka bir basit geometrik şekil, alanı bir yüzün veya köşegenin uzunluğu bilinerek hesaplanabilen bir karedir. Hesaplama formülleri şuna benzer:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Buna göre, a yüzün uzunluğu ve d köşegenin uzunluğudur. Dikdörtgene gelince, onun için karelemeyi hesaplamak için yalnızca bir seçenek mümkündür: a ve b'nin kenarların uzunlukları olduğu S = a ⋅ b formülüne göre.

Paralelkenar

Paralelkenarda tüm açılar 90 dereceden farklıdır, ancak çiftler halinde her iki tarafta 180 derece verirler. Yani, iki zıt açı her zaman dardır ve diğer ikisi geniştir. Bu özellikler göz önüne alındığında, bir paralelkenarın alanını hesaplamak için 3 formül vardır:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Buna göre a ve b paralelkenarın kenar uzunlukları, h yüksekliği, d1 ve d2 köşegen uzunlukları, α kenarlar arasındaki açı ve γ köşegenler arasındaki açıdır. Bu değerlerden hangisinin bilindiğine bağlı olarak, değişkenlerin yerine bunları koyarak gerekli alanı hızlı bir şekilde belirleyebilirsiniz.

Çevre

Düzenli bir daire için, alanı hesaplarken çevreyi hesaba katmadan yalnızca yarıçap ve çap önemlidir. Hesaplamalar aşağıdaki formüllere göre yapılır:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Buna göre, π bir sabittir (3.14'e eşittir...), r dairenin yarıçapıdır ve d dairenin çapıdır.

Dörtgen

Dışbükey dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarını ve aralarındaki açıları, kenarların uzunluklarını ve aralarındaki açıları ve ayrıca yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçaplarını bilerek, karelemesini hesaplayabilirsiniz. Buna göre dört formülden biri uygulanabilir:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Bu formüllerde, d1 ve d2, dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarıdır, r, yazılı dairenin yarıçapıdır, p, yarı çevredir, α, köşegenler arasındaki açıdır ve θ, yarı-çevredir. iki zıt açının toplamı veya (α + β) / 2.

Elmas

Bu basit geometrik şeklin alanını hesaplamak için değişkenlerin yükseklik, kenar uzunlukları, açılar ve köşegenler olduğu 3 formül kullanılır. Hesaplamak için üç denklemden birini uygulayabilirsiniz:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Bunlarda a eşkenar dörtgenin kenar uzunluğu, h ona indirilen yüksekliğin uzunluğu, α iki kenar arasındaki açı ve d1 ve d2 köşegenlerin uzunluklarıdır.

Yamuk

Heron'un formülüne göre, iki paralel kenarı olan bir yamuğun dörtgenini, yüksekliği ve tabanların toplamının yarısını bilerek ve ayrıca kenarların uzunluklarını kullanarak belirleyebilirsiniz:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d))).

Bu ifadelerde a ve b yamuğun taban uzunlukları, c ve d yan yüz uzunlukları, h yükseklik ve p (a + b + c + d) / 2.

Listelenen formüllerin çoğunun bir kağıt parçasında veya hesap makinesinde hesaplanması kolaydır, ancak günümüzün en kolay seçeneği, tüm değişkenlerin zaten belirtildiği ve geriye yalnızca bilinenleri eklemek olan tarayıcı tabanlı bir çevrimiçi uygulamadır. sayıları boş alanlarına ekleyin.

Alan hesaplayıcı

Diğer araçlar