Calculator ng area

Sa pang-araw-araw na buhay, madalas tayong makatagpo ng ganitong katangian bilang lugar. Halimbawa - ang lugar ng mesa, dingding, apartment, plot, bansa, kontinente. Nalalapat lamang ito sa mga patag at may kundisyong patag na ibabaw na maaaring tukuyin ng haba/lapad, radius/diameter, mga dayagonal, taas, at anggulo.

Ang buong seksyon ng geometry ay nakatuon dito, na nag-aaral ng mga figure ng eroplano: mga parisukat, parihaba, trapezoid, rhombus, bilog, ellipse, tatsulok - planimetry.

Makasaysayang background

Ipinahiwatig ng mga pag-aaral ng arkeolohiko na nasusukat ng mga sinaunang Babylonians ang ibabaw na lugar 4-5 thousand years ago. Ang sibilisasyong Babylonian ang kinilala sa pagtuklas at pagpapatupad ng katangiang ito sa matematika, kung saan ang pinakakumplikadong mga kalkulasyon ay kasunod na binuo: mula heograpikal hanggang astronomikal.

Sa una, ang lugar ay ginagamit lamang sa pagsukat ng lupa. Sila ay nahahati sa mga parisukat na may parehong laki, na pinasimple ang accounting ng mga cropland at pastulan. Kasunod nito, ginamit ang katangian sa arkitektura at pagpaplano ng lunsod.

Kung sa Babylon ang konsepto ng "lugar" ay inextricably na nauugnay sa isang parisukat (mamaya - isang parihaba), pagkatapos ay pinalawak ng mga sinaunang Egyptian ang pagtuturo ng Babylonian at inilapat ito sa iba pang mas kumplikadong mga figure. Kaya, sa sinaunang Egypt alam nila kung paano matukoy ang lugar ng parallelograms, triangles at trapezoids. Bukod dito, ayon sa parehong mga pangunahing formula na ginagamit ngayon.

Halimbawa, ang lugar ng isang rektanggulo ay kinakalkula habang ang haba nito ay di-kumplikado sa lapad nito, at ang lugar ng isang tatsulok ay kinakalkula bilang kalahati ng base nito ay dinadagdagan ng taas nito. Kapag nagtatrabaho sa mas kumplikadong mga hugis (polyhedra), una silang pinaghiwa-hiwalay sa mga simpleng hugis, at pagkatapos ay kinakalkula gamit ang mga pangunahing formula, na pinapalitan ang mga sinusukat na halaga. Ginagamit pa rin ang paraang ito sa geometry, sa kabila ng pagkakaroon ng mga espesyal na kumplikadong formula para sa polyhedra.

Sinaunang Greece at India

Natuto ang mga siyentipiko na gumawa ng mga bilugan na figure lamang noong III-II na siglo BC. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa sinaunang mga mananaliksik ng Griyego na sina Euclid at Archimedes, at sa partikular tungkol sa pangunahing gawain na "Mga Simula" (mga aklat V at XII). Sa kanila, siyentipikong pinatunayan ni Euclid na ang mga lugar ng mga bilog ay magkakaugnay sa isa't isa bilang mga parisukat ng kanilang mga diameter. Gumawa rin siya ng isang paraan para sa pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga lugar, na, habang lumalaki ang mga ito, unti-unting "naubos" ang nais na lugar.

Kaugnay nito, si Archimedes sa unang pagkakataon sa kasaysayan ay kinakalkula ang lugar ng isang segment ng isang parabola, at naglagay ng mga makabagong ideya sa kanyang gawaing siyentipiko sa pagkalkula ng mga pagliko ng mga spiral. Sa kanya ang pangunahing pagtuklas ng inscribed at circumscribed na mga bilog, ang radii nito ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang mga lugar ng maraming geometric na hugis na may mataas na katumpakan.

Ang mga siyentipikong Indian, na natuto mula sa mga sinaunang Egyptian at Griyego, ay nagpatuloy sa kanilang pananaliksik noong unang bahagi ng Middle Ages. Kaya, ang sikat na astronomo at matematiko na si Brahmagupta noong ika-7 siglo AD ay nagpakilala ng isang konsepto bilang "semiperimeter" (na tinukoy bilang p), at ang paggamit nito ay nakabuo ng mga bagong formula para sa pagkalkula ng mga flat quadrangle na nakasulat sa mga bilog. Ngunit ang lahat ng mga pormula ay ipinakita sa "Sukatan" at iba pang mga akdang pang-agham hindi sa teksto, ngunit sa graphical na anyo: bilang mga diagram at mga guhit, at natanggap ang kanilang huling anyo nang maglaon - lamang noong ika-17 siglo, sa Europa.

Europa

Pagkatapos, noong 1604, ang paraan ng pagkaubos na natuklasan ni Euclid ay ginawang pangkalahatan ng siyentipikong Italyano na si Luca Valerio. Pinatunayan niya na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng isang inscribed at circumscribed figure ay maaaring gawing mas maliit kaysa sa anumang partikular na lugar, sa kondisyon na ang mga ito ay binubuo ng parallelograms. At ang Aleman na siyentipiko na si Johannes Kepler (Johannes Kepler) ay unang kinakalkula ang lugar ng ellipse, na kailangan niya para sa astronomical na pananaliksik. Ang esensya ng pamamaraan ay ang pag-decompose ng ellipse sa maraming linya na may hakbang na 1 degree.

Noong ika-19-20 siglo, ang mga pag-aaral sa mga lugar ng mga flat figure ay halos naubos at ipinakita sa anyo kung saan umiiral pa rin ang mga ito. Tanging ang pagtuklas kay Herman Minkowski, na nagmungkahi na gumamit ng isang "enveloping layer" para sa mga flat figure, na, na may kapal na tending to zero, ay maaaring ituring na makabago, ginagawang posible upang matukoy ang nais na ibabaw na lugar na may mataas na katumpakan. Ngunit gagana lang ang pamamaraang ito kung sinusunod ang additivity, at hindi maituturing na unibersal.

Paano makuha ang sukat ng (pormula ng sukat)

Alam ng mga sinaunang Egyptian kung paano kalkulahin ang mga lugar ng mga simpleng geometric na hugis, at habang umuunlad ang mga sibilisasyon, parami nang parami ang mga bagong formula para sa mga kalkulasyon na lumitaw.

Halimbawa, ngayon para sa isang ordinaryong tatsulok ay mayroong 7 formula para sa pagkalkula ng lugar, bawat isa ay tama kapag pinapalitan ang mga numerical na halaga sa halip na mga variable. Ganoon din ang masasabi tungkol sa karamihan ng iba pang mga hugis: bilog, parisukat, trapezium, paralelogram, rhombus.

Triangle

Dapat kang magsimula sa isang tatsulok - ang pangunahing geometric figure kung saan ang lahat ng modernong trigonometry ay binuo. Mayroong 4 na pangunahing mga formula upang kalkulahin ang lugar ng isang ordinaryong (hindi hugis-parihaba) na tatsulok:

S = (1/2) ⋅ isang ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Sa mga formula na ito, ang a, b at c ay ang mga haba ng gilid ng tatsulok, h ang taas nito, r ang radius ng inscribed na bilog, R ang radius ng circumscribed na bilog, at ang p ay ang semi -perimeter katumbas ng - (a + b + c) / 2. Gamit ang trigonometry, matutukoy mo ang lugar ng isang tatsulok gamit ang tatlo pang formula:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ kasalanan α.

Alinsunod dito, ang α, β at γ ay ang mga anggulo sa pagitan ng mga katabing gilid. Gamit ang mga formula na ito, maaari mong kalkulahin ang lugar ng anumang tatsulok, kabilang ang mga right-angled at equilateral.

Kung ang tatsulok ay isang tamang tatsulok, ang lugar nito ay matatagpuan din mula sa hypotenuse at taas, mula sa hypotenuse at acute angle, mula sa binti at acute angle, at gayundin mula sa radius ng inscribed na bilog at hypotenuse.

Kuwadrado at Parihaba

Ang isa pang simpleng geometric figure ay isang parisukat, na ang lugar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pag-alam sa haba ng isang mukha o dayagonal. Ang mga formula para sa mga kalkulasyon ay ganito ang hitsura:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Alinsunod dito, ang a ay ang haba ng mukha, at ang d ay ang haba ng dayagonal. Tulad ng para sa parihaba, isang opsyon lamang para sa pagkalkula ng quadrature ang posible para dito: ayon sa formula S = a ⋅ b, kung saan ang a at b ay ang mga haba ng mga gilid.

Parallelogram

Sa isang paralelogram, ang lahat ng mga anggulo ay iba mula sa 90 degrees, ngunit ang magkapares ay nagbibigay ng 180 degrees sa bawat panig. Iyon ay, ang dalawang magkasalungat na anggulo ay palaging talamak, at ang iba pang dalawa ay mahina. Dahil sa mga feature na ito, mayroong 3 formula para sa pagkalkula ng area ng isang paralelogram:

S = isang ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Alinsunod dito, ang a at b ay ang haba ng mga gilid ng parallelogram, h ang taas nito, d1 at d2 ang haba ng mga dayagonal, α ang anggulo sa pagitan ng mga gilid, at γ ang anggulo sa pagitan ng mga dayagonal. Depende kung alin sa mga value na ito ang kilala, mabilis mong matutukoy ang kinakailangang lugar sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito sa halip na mga variable.

Bilog

Para sa isang regular na bilog, ang radius at diameter lang ang mahalaga kapag kinakalkula ang lugar - nang hindi isinasaalang-alang ang circumference. Ang mga kalkulasyon ay isinasagawa ayon sa mga formula:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Alinsunod dito, ang π ay isang pare-pareho (katumbas ng 3.14...), ang r ay ang radius ng bilog, at ang d ay ang diameter nito.

Quadrangle

Maaari mong kalkulahin ang quadrature ng isang convex quadrilateral sa pamamagitan ng pag-alam sa haba ng mga diagonal nito at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito, ang haba ng mga gilid at anggulo sa pagitan ng mga ito, pati na rin ang radii ng mga naka-inscribe at circumscribed na bilog. Alinsunod dito, maaaring ilapat ang isa sa apat na formula:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Sa mga formula na ito, ang d1 at d2 ay ang mga haba ng mga dayagonal ng quadrangle, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, ang p ay ang kalahating perimeter, ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga dayagonal, at ang θ ay ang kalahating- kabuuan ng dalawang magkasalungat na anggulo, o (α + β) / 2.

Diamante

Upang kalkulahin ang lugar ng simpleng geometric figure na ito, 3 formula ang ginagamit, kung saan ang mga variable ay taas, haba ng gilid, anggulo at diagonal. Upang kalkulahin, maaari mong ilapat ang isa sa tatlong equation:

S = isang ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Sa kanila, ang a ay ang haba ng gilid ng rhombus, ang h ay ang haba ng taas na ibinababa dito, ang α ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang panig, at ang d1 at d2 ay ang mga haba ng mga dayagonal.

Trapezoid

Maaari mong matukoy ang quadrature ng isang trapezoid na may dalawang magkatulad na gilid, alam ang taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base, pati na rin ang paggamit ng mga haba ng mga gilid - ayon sa formula ng Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Sa mga expression na ito, ang a at b ay ang haba ng mga base ng trapezoid, ang c at d ay ang haba ng mga gilid na mukha, h ang taas, at ang p ay ang semi-perimeter na katumbas ng (a + b + c + d) / 2.

Karamihan sa mga nakalistang formula ay madaling kalkulahin sa isang piraso ng papel o isang calculator, ngunit ang pinakamadaling opsyon ngayon ay isang online na application na nakabatay sa browser kung saan ang lahat ng mga variable ay tinukoy na, at ang natitira lamang ay magdagdag ng kilala mga numero sa kanilang mga walang laman na field.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Calculator ng area