Kalkulator površine

U svakodnevnom životu često se susrećemo sa takvom karakteristikom kao što je oblast. Na primer - površina stola, zidova, stana, parcele, zemlje, kontinenta. Primenjuje se samo na ravne i uslovno ravne površine koje se mogu definisati dužinom/širinom, poluprečnikom/prečnikom, dijagonalama, visinama i uglovima.

Čitav deo geometrije je posvećen tome, proučavajući ravne figure: kvadrate, pravougaonike, trapeze, rombove, krugove, elipse, trouglove - planimetriju.

Istorijska pozadina

Arheološka istraživanja pokazuju da su stari Vavilonci mogli da izmere površinu pre 4-5 hiljada godina. Upravo je vavilonska civilizacija zaslužna za otkriće i implementaciju ove matematičke karakteristike, na kojoj su naknadno izgrađeni najsloženiji proračuni: od geografskih do astronomskih.

U početku se površina koristila samo za merenje zemljišta. Bili su podeljeni na kvadrate iste veličine, što je pojednostavilo obračun ratarskih površina i pašnjaka. Nakon toga, ova karakteristika je korišćena u arhitekturi i urbanističkom planiranju.

Ako je u Vavilonu koncept "oblasti" bio neraskidivo povezan sa kvadratom (kasnije - pravougaonikom), onda su stari Egipćani proširili vavilonsko učenje i primenili ga na druge, složenije figure. Dakle, u starom Egiptu su znali kako da odrede površinu paralelograma, trouglova i trapeza. Štaviše, prema istim osnovnim formulama koje se danas koriste.

Na primer, površina pravougaonika je izračunata kao njegova dužina puta širine, a površina trougla je izračunata kao polovina njegove osnove puta njegova visina. Kada se radi sa složenijim figurama (poliedrima), one su prvo raščlanjene na jednostavne figure, a zatim izračunate pomoću osnovnih formula, zamenjujući izmerene vrednosti. Ovaj metod se i dalje koristi u geometriji, uprkos prisustvu posebnih složenih formula za poliedre.

Drevna Grčka i Indija

Naučnici su naučili da rade sa zaobljenim figurama tek u III-II veku pre nove ere. Reč je o drevnim grčkim istraživačima Euklidu i Arhimedu, a posebno o fundamentalnom delu „Počeci“ (knjige V i KSII). U njima je Euklid naučno dokazao da su površine krugova međusobno povezane kao kvadrati njihovih prečnika. Takođe je razvio metod za konstruisanje niza oblasti, koje, kako rastu, postepeno „iscrpljuju“ željenu oblast.

Zauzvrat, Arhimed je po prvi put u istoriji izračunao površinu segmenta parabole i izneo inovativne ideje u svom naučnom radu o izračunavanju zavoja spirala. Njemu pripada fundamentalno otkriće upisanih i opisanih krugova, čiji se poluprečniki mogu koristiti za izračunavanje površina mnogih geometrijskih oblika sa velikom preciznošću.

Indijski naučnici, koji su učili od starih Egipćana i Grka, nastavili su svoja istraživanja tokom ranog srednjeg veka. Dakle, poznati astronom i matematičar Brahmagupta u 7. veku nove ere uveo je koncept kao što je "poluperimetar" (označen kao p), i koristeći ga je razvio nove formule za izračunavanje ravnih četvorouglova upisanih u krugove. Ali sve formule su predstavljene u „Metrici“ i drugim naučnim radovima ne u tekstu, već u grafičkom obliku: kao dijagrami i crteži, a konačan oblik su dobili mnogo kasnije – tek u 17. veku, u Evropi.

Evropa

Tada je 1604. godine italijanski naučnik Luka Valerio generalizovao metod iscrpljivanja koji je otkrio Euklid. On je dokazao da se razlika između površina upisane i opisane figure može učiniti manjom od bilo koje date površine, pod uslovom da su sastavljene od paralelograma. A nemački naučnik Johanes Kepler (Johannes Kepler) je prvo izračunao površinu elipse, koja mu je bila potrebna za astronomska istraživanja. Suština metode je bila da se elipsa razloži na mnogo linija sa korakom od 1 stepen.

Od 19.-20. veka proučavanja površina ravnih figura su praktično iscrpljena i predstavljena u obliku u kojem i danas postoje. Samo otkriće Hermana Minkovskog, koji je predložio da se za ravne figure koristi „sloj omotača“, koji se, sa debljinom koja teži nuli, može smatrati inovativnim, omogućava određivanje željene površine sa visokom preciznošću. Ali ovaj metod funkcioniše samo ako se posmatra aditivnost i ne može se smatrati univerzalnim.

Kako izračunati površinu (formule za površinu)

Drevni Egipćani su znali da izračunaju površine jednostavnih geometrijskih oblika, a kako su se civilizacije razvijale, pojavljivalo se sve više novih formula za proračune.

Na primer, danas za običan trougao postoji 7 formula za izračunavanje površine, od kojih je svaka tačna pri zameni numeričkih vrednosti umesto promenljivih. Isto se može reći i za većinu drugih oblika: krug, kvadrat, trapez, paralelogram, romb.

Trougao

Trebalo bi da počnete sa trouglom - osnovnom geometrijskom figurom na kojoj je izgrađena sva moderna trigonometrija. Postoje 4 osnovne formule za izračunavanje površine običnog (nepravougaonog) trougla:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

U ovim formulama, a, b i c su dužine stranica trougla, h je njegova visina, r je poluprečnik upisanog kruga, R je poluprečnik opisanog kruga, a p je poluprečnik -perimetar jednak - (a + b + c) / 2. Koristeći trigonometriju, možete odrediti površinu trougla koristeći još tri formule:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin g.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin b.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin a.

Prema tome, a, b i g su uglovi između susednih stranica. Koristeći ove formule, možete izračunati površinu bilo kog trougla, uključujući pravougli i jednakostranični.

Ako je trougao pravougli trougao, njegova površina se može naći i iz hipotenuze i visine, iz hipotenuze i oštrog ugla, iz kraka i oštrog ugla, a takođe i iz poluprečnika upisanog kruga i hipotenuze.

Kvadrat i pravougaonik

Još jedna jednostavna geometrijska figura je kvadrat, čija se površina može izračunati poznavanjem dužine lica ili dijagonale. Formule za proračune izgledaju ovako:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Prema tome, a je dužina lica, a d je dužina dijagonale. Što se tiče pravougaonika, za njega je moguća samo jedna opcija za izračunavanje kvadrature: prema formuli S = a ⋅ b, gde su a i b dužine stranica.

Paralelogram

U paralelogramu, svi uglovi su različiti od 90 stepeni, ali upareni zajedno daju 180 stepeni na svakoj strani. To jest, dva suprotna ugla su uvek oštra, a druga dva tupa. S obzirom na ove karakteristike, postoje 3 formule za izračunavanje površine paralelograma:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sina,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin g.

Prema tome, a i b su dužine stranica paralelograma, h je njegova visina, d1 i d2 su dužine dijagonala, a je ugao između stranica, a g je ugao između dijagonala. U zavisnosti od toga koje su od ovih vrednosti poznate, možete brzo odrediti potrebnu oblast tako što ćete ih zameniti umesto promenljivih.

Krug

Za pravilan krug, samo poluprečnik i prečnik su važni pri izračunavanju površine - bez uzimanja u obzir obima. Proračuni se vrše prema formulama:

S = p ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ p ⋅ d².

Prema tome, p je konstanta (jednaka 3,14...), r je poluprečnik kruga, a d je njegov prečnik.

Četvorougao

Možete izračunati kvadraturu konveksnog četvorougla tako što ćete znati dužinu njegovih dijagonala i uglova između njih, dužine stranica i uglova između njih, kao i poluprečnike upisanih i opisanih krugova. Shodno tome, može se primeniti jedna od četiri formule:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin a.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² th).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

U ovim formulama, d1 i d2 su dužine dijagonala četvorougla, r je poluprečnik upisanog kruga, p je poluperimetar, a je ugao između dijagonala, a th je poluperimetar. zbir dva suprotna ugla, ili (a + b) / 2.

Dijamant

Da bi se izračunala površina ove jednostavne geometrijske figure, koriste se 3 formule u kojima su promenljive visina, dužina stranica, uglovi i dijagonale. Da biste izračunali, možete primeniti jednu od tri jednačine:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sina.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

U njima je a dužina stranice romba, h je dužina visine spuštene na nju, a je ugao između dve stranice, a d1 i d2 su dužine dijagonala.

Trapez

Možete odrediti kvadraturu trapeza sa dve paralelne stranice, znajući njegovu visinu i polovinu zbira osnova, kao i koristeći dužine stranica - prema Heronovoj formuli:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

U ovim izrazima, a i b su dužine osnova trapeza, c i d su dužine bočnih strana, h je visina, a p je poluperimetar jednak (a + b + c + d) / 2.

Većinu navedenih formula je lako izračunati na komadu papira ili kalkulatoru, ali najlakša opcija danas je onlajn aplikacija zasnovana na pretraživaču u kojoj su sve varijable već navedene, a ostaje samo dodati poznate brojeve u njihova prazna polja.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Kalkulator površine