Llogaritësi i sipërfaqes

Në jetën e përditshme, shpesh hasim një karakteristikë të tillë si zona. Për shembull - zona e tryezës, muret, apartamenti, parcela, vendi, kontinenti. Zbatohet vetëm për sipërfaqet e sheshta dhe me kusht të sheshta që mund të përcaktohen nga gjatësia/gjerësia, rrezja/diametri, diagonalet, lartësitë dhe këndet.

Kësaj i kushtohet një pjesë e tërë e gjeometrisë, duke studiuar figurat e rrafshëta: katrorët, drejtkëndëshat, trapezoidët, rombët, rrathët, elipset, trekëndëshat - planimetria.

Sfondi historik

Studimet arkeologjike tregojnë se babilonasit e lashtë ishin në gjendje të masin sipërfaqen 4-5 mijë vjet më parë. Është qytetërimi babilonas ai që i njihet merita për zbulimin dhe zbatimin e kësaj karakteristike matematikore, mbi të cilën u ndërtuan më pas llogaritjet më komplekse: nga gjeografike në astronomike.

Fillimisht, zona u përdor vetëm për të matur tokën. Ato u ndanë në sheshe me të njëjtën madhësi, gjë që thjeshtoi llogaritjen e tokave bujqësore dhe kullotave. Më pas, karakteristika u përdor në arkitekturë dhe planifikim urban.

Nëse në Babiloni koncepti i "zonës" ishte i lidhur pazgjidhshmërisht me një katror (më vonë - një drejtkëndësh), atëherë egjiptianët e lashtë e zgjeruan mësimin babilonas dhe e zbatuan atë në figura të tjera, më komplekse. Pra, në Egjiptin e lashtë ata dinin të përcaktonin zonën e paralelogrameve, trekëndëshave dhe trapezoidëve. Për më tepër, sipas të njëjtave formula bazë që përdoren sot.

Për shembull, sipërfaqja e një drejtkëndëshi llogaritet si gjatësia e tij me gjerësinë e tij, dhe sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet si gjysma e bazës së tij shumëfishuar lartësinë e tij. Kur punoni me figura më komplekse (polyedra), ato fillimisht ndaheshin në shifra të thjeshta dhe më pas llogariteshin duke përdorur formulat bazë, duke zëvendësuar vlerat e matura. Kjo metodë përdoret ende në gjeometri, pavarësisht nga prania e formulave të veçanta komplekse për poliedrat.

Greqia e lashtë dhe India

Shkencëtarët mësuan të punonin me figura të rrumbullakosura vetëm në shekujt III-II para Krishtit. Bëhet fjalë për studiuesit e lashtë grekë Euklidi dhe Arkimedi, dhe në veçanti për veprën themelore "Fillimet" (libra V dhe XII). Në to, Euklidi vërtetoi shkencërisht se zonat e rrathëve janë të lidhura me njëra-tjetrën si katrorët e diametrave të tyre. Ai gjithashtu zhvilloi një metodë për ndërtimin e një sekuence zonash, të cilat, ndërsa rriten, gradualisht "shterin" zonën e dëshiruar.

Nga ana tjetër, Arkimedi për herë të parë në histori llogariti sipërfaqen e një segmenti të një parabole dhe parashtroi ide novatore në punën e tij shkencore për llogaritjen e kthesave të spiraleve. Pikërisht atij i përket zbulimi themelor i rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar, rrezet e të cilave mund të përdoren për të llogaritur sipërfaqet e shumë formave gjeometrike me saktësi të lartë.

Shkencëtarët indianë, pasi kishin mësuar nga egjiptianët dhe grekët e lashtë, vazhduan kërkimet e tyre gjatë mesjetës së hershme. Pra, astronomi dhe matematikani i famshëm Brahmagupta në shekullin e VII pas Krishtit prezantoi një koncept të tillë si "gjysmëperimetri" (i shënuar si p), dhe duke e përdorur atë zhvilloi formula të reja për llogaritjen e katërkëndëshave të sheshtë të gdhendur në rrathë. Por të gjitha formulat u prezantuan në "Metric" dhe vepra të tjera shkencore jo në tekst, por në formë grafike: si diagrame dhe vizatime, dhe morën formën e tyre përfundimtare shumë më vonë - vetëm në shekullin e 17-të, në Evropë.

Evropë

Më pas, në vitin 1604, metoda e shterimit e zbuluar nga Euklidi u përgjithësua nga shkencëtari italian Luca Valerio. Ai vërtetoi se ndryshimi midis sipërfaqeve të një figure të brendashkruar dhe të rrethuar mund të bëhet më i vogël se çdo zonë e caktuar, me kusht që ato të përbëhen nga paralelograme. Dhe shkencëtari gjerman Johannes Kepler (Johannes Kepler) së pari llogariti zonën e elipsës, e cila i nevojitej për kërkime astronomike. Thelbi i metodës ishte zbërthimi i elipsit në shumë rreshta me një hap prej 1 shkallë.

Në shekujt 19-20, studimet e zonave të figurave të sheshta praktikisht u shteruan dhe u paraqitën në formën në të cilën ato ekzistojnë ende. Vetëm zbulimi i Herman Minkowski, i cili propozoi përdorimin e një "shtrese mbështjellëse" për figurat e sheshta, e cila, me një trashësi të prirur në zero, mund të konsiderohet novatore, bën të mundur përcaktimin e sipërfaqes së dëshiruar me saktësi të lartë. Por kjo metodë funksionon vetëm nëse vërehet aditiviteti dhe nuk mund të konsiderohet universale.

Si të gjejmë sipërfaqen (formulat e sipërfaqes)

Egjiptianët e lashtë dinin të llogarisnin sipërfaqet e formave të thjeshta gjeometrike dhe me zhvillimin e qytetërimeve, u shfaqën gjithnjë e më shumë formula të reja për llogaritjet.

Për shembull, sot për një trekëndësh të zakonshëm ka 7 formula për llogaritjen e sipërfaqes, secila prej të cilave është e saktë kur zëvendësohen vlerat numerike në vend të variablave. E njëjta gjë mund të thuhet për shumicën e formave të tjera: rreth, katror, trapez, paralelogram, romb.

Trekëndësh

Duhet të filloni me një trekëndësh - figura bazë gjeometrike mbi të cilën është ndërtuar e gjithë trigonometria moderne. Ekzistojnë 4 formula themelore për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi të zakonshëm (jo drejtkëndor):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Në këto formula, a, b dhe c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit, h është lartësia e tij, r është rrezja e rrethit të brendashkruar, R është rrezja e rrethit të rrethuar dhe p është gjysmë -perimetri i barabartë me - (a + b + c) / 2. Duke përdorur trigonometrinë, mund të përcaktoni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur tre formula të tjera:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Sipas kësaj, α, β dhe γ janë këndet midis brinjëve ngjitur. Duke përdorur këto formula, mund të llogarisni sipërfaqen e çdo trekëndëshi, duke përfshirë ato kënddrejtë dhe barabrinjës.

Nëse trekëndëshi është një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e tij mund të gjendet gjithashtu nga hipotenuza dhe lartësia, nga hipotenuza dhe këndi akut, nga këmbët dhe këndi akut, si dhe nga rrezja e rrethit dhe hipotenuzës së brendashkruar.

Katrori dhe drejtkëndësh

Një figurë tjetër e thjeshtë gjeometrike është një katror, sipërfaqja e të cilit mund të llogaritet duke ditur gjatësinë e faqes ose diagonales. Formulat për llogaritjet duken kështu:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Sipas kësaj, a është gjatësia e fytyrës dhe d është gjatësia e diagonales. Sa i përket drejtkëndëshit, vetëm një opsion për llogaritjen e kuadraturës është i mundur për të: sipas formulës S = a ⋅ b, ku a dhe b janë gjatësitë e brinjëve.

Paralelogram

Në një paralelogram, të gjitha këndet janë të ndryshme nga 90 gradë, por të çiftuar së bashku japin 180 gradë në secilën anë. Kjo do të thotë, dy kënde të kundërta janë gjithmonë akute, dhe dy të tjerët janë të mpirë. Duke pasur parasysh këto karakteristika, ekzistojnë 3 formula për llogaritjen e sipërfaqes së një paralelogrami:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Sipas kësaj, a dhe b janë gjatësitë e brinjëve të paralelogramit, h është lartësia e tij, d1 dhe d2 janë gjatësitë e diagonaleve, α është këndi ndërmjet brinjëve dhe γ është këndi ndërmjet diagonaleve. Në varësi të cilës prej këtyre vlerave njihen, ju mund të përcaktoni shpejt zonën e kërkuar duke i zëvendësuar ato në vend të variablave.

Rrethi

Për një rreth të rregullt, vetëm rrezja dhe diametri kanë rëndësi kur llogaritet sipërfaqja - pa marrë parasysh perimetrin. Llogaritjet kryhen sipas formulave:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Prandaj, π është një konstante (e barabartë me 3,14...), r është rrezja e rrethit dhe d është diametri i tij.

Katërkëndësh

Mund të llogaritni kuadraturën e një katërkëndëshi konveks duke ditur gjatësinë e diagonaleve të tij dhe këndet ndërmjet tyre, gjatësinë e brinjëve dhe këndeve ndërmjet tyre, si dhe rrezet e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar. Prandaj, mund të aplikohet një nga katër formulat:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Në këto formula, d1 dhe d2 janë gjatësitë e diagonaleve të katërkëndëshit, r është rrezja e rrethit të brendashkruar, p është gjysma e perimetrit, α është këndi midis diagonaleve dhe θ është gjysma e shuma e dy këndeve të kundërta, ose (α + β) / 2.

Diamant

Për të llogaritur sipërfaqen e kësaj figure të thjeshtë gjeometrike, përdoren 3 formula, në të cilat variablat janë lartësia, gjatësia e anëve, këndet dhe diagonalet. Për të llogaritur, mund të aplikoni një nga tre ekuacionet:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Në to, a është gjatësia e anës së rombit, h është gjatësia e lartësisë së ulur në të, α është këndi midis dy anëve dhe d1 dhe d2 janë gjatësitë e diagonaleve.

Trapez

Mund të përcaktoni kuadraturën e një trapezi me dy brinjë paralele, duke ditur lartësinë e tij dhe gjysmën e shumës së bazave, si dhe duke përdorur gjatësitë e brinjëve - sipas formulës së Heronit:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Në këto shprehje, a dhe b janë gjatësitë e bazave të trapezit, c dhe d janë gjatësitë e faqeve anësore, h është lartësia dhe p është gjysmëperimetri i barabartë me (a + b + c + d) / 2.

Shumica e formulave të listuara janë të lehta për t'u llogaritur në një copë letre ose një makinë llogaritëse, por opsioni më i lehtë sot është një aplikacion online i bazuar në shfletues, në të cilin të gjitha variablat janë specifikuar tashmë, dhe gjithçka që mbetet është të shtohen të njohurat numrat në fushat e tyre boshe.

Llogaritësi i sipërfaqes

Vegla të tjera