Plošná kalkulačka

Starí Egypťania vedeli, ako vypočítať plochy jednoduchých geometrických tvarov, a ako sa civilizácie vyvíjali, objavovali sa stále nové a nové vzorce na výpočty.

Napríklad dnes pre obyčajný trojuholník existuje 7 vzorcov na výpočet plochy, z ktorých každý je správny pri dosadení číselných hodnôt namiesto premenných. To isté možno povedať o väčšine ostatných tvarov: kruh, štvorec, lichobežník, rovnobežník, kosoštvorec.

Trojuholník

Mali by ste začať trojuholníkom – základným geometrickým útvarom, na ktorom je postavená celá moderná trigonometria. Na výpočet plochy obyčajného (nie pravouhlého) trojuholníka existujú 4 základné vzorce:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p ⋅ r.

V týchto vzorcoch sú a, b a c dĺžky strán trojuholníka, h je jeho výška, r je polomer opísanej kružnice, R je polomer opísanej kružnice a p je polovica -obvod rovný - (a + b + c) / 2. Pomocou trigonometrie môžete určiť obsah trojuholníka pomocou troch ďalších vzorcov:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Podľa toho sú α, β a γ uhly medzi susednými stranami. Pomocou týchto vzorcov môžete vypočítať plochu akéhokoľvek trojuholníka vrátane pravouhlých a rovnostranných.

Ak je trojuholník pravouhlý, jeho obsah možno zistiť aj z prepony a výšky, z prepony a ostrého uhla, z ramena a ostrého uhla a tiež z polomeru vpísanej kružnice a prepony.

Štvorec a obdĺžnik

Ďalším jednoduchým geometrickým útvarom je štvorec, ktorého plochu možno vypočítať na základe znalosti dĺžky tváre alebo uhlopriečky. Vzorce na výpočty vyzerajú takto:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

Podľa toho je a dĺžka tváre a d dĺžka uhlopriečky. Čo sa týka obdĺžnika, je preň možná len jedna možnosť na výpočet kvadratúry: podľa vzorca S = a ⋅ b, kde a a b sú dĺžky strán.

Paralelogram

V rovnobežníku sa všetky uhly líšia od 90 stupňov, ale spárované spolu dávajú 180 stupňov na každej strane. To znamená, že dva opačné uhly sú vždy ostré a ďalšie dva sú tupé. Vzhľadom na tieto vlastnosti existujú 3 vzorce na výpočet plochy rovnobežníka:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα,
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Podľa toho sú a a b dĺžky strán rovnobežníka, h je jeho výška, d1 a d2 sú dĺžky uhlopriečok, α je uhol medzi stranami a γ je uhol medzi uhlopriečkami. V závislosti od toho, ktoré z týchto hodnôt sú známe, môžete rýchlo určiť požadovanú oblasť ich nahradením namiesto premenných.

Kruh

Pri bežnom kruhu sú pri výpočte plochy dôležité iba polomer a priemer – bez ohľadu na obvod. Výpočty sa vykonávajú podľa vzorcov:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

V súlade s tým je π konštanta (rovná sa 3,14...), r je polomer kruhu a d je jeho priemer.

Štvoruholník

Kvadratúru konvexného štvoruholníka môžete vypočítať tak, že poznáte dĺžku jeho uhlopriečok a uhlov medzi nimi, dĺžky strán a uhly medzi nimi, ako aj polomery kružníc vpísaných a opísaných. Podľa toho možno použiť jeden zo štyroch vzorcov:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p ⋅ r.
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

V týchto vzorcoch sú d1 a d2 dĺžky uhlopriečok štvoruholníka, r je polomer vpísanej kružnice, p je polovica obvodu, α je uhol medzi uhlopriečkami a θ je polovica- súčet dvoch protiľahlých uhlov alebo (α + β) / 2.

Diamant

Na výpočet plochy tohto jednoduchého geometrického útvaru sa používajú 3 vzorce, v ktorých sú premenné výška, dĺžky strán, uhly a uhlopriečky. Na výpočet môžete použiť jednu z troch rovníc:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

V nich je a dĺžka strany kosoštvorca, h je dĺžka výšky, ktorá je k nemu znížená, α je uhol medzi dvoma stranami a d1 a d2 sú dĺžky uhlopriečok.

p>

Lichobežník

Môžete určiť kvadratúru lichobežníka s dvoma rovnobežnými stranami, pričom poznáte jeho výšku a polovicu súčtu základní, ako aj pomocou dĺžok strán – podľa Heronovho vzorca:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

V týchto výrazoch sú a a b dĺžky základne lichobežníka, c a d sú dĺžky bočných plôch, h je výška a p je polobvod rovný (a + b + c + d) / 2.

Väčšina uvedených vzorcov sa dá ľahko vypočítať na papieri alebo v kalkulačke, ale najjednoduchšou možnosťou je dnes online aplikácia založená na prehliadači, v ktorej sú už všetky premenné špecifikované a zostáva len pridať známe čísla do ich prázdnych polí.