Plošná kalkulačka

V každodennom živote sa často stretávame s takou charakteristikou, akou je oblasť. Napríklad - plocha stola, steny, byt, pozemok, krajina, kontinent. Vzťahuje sa iba na ploché a podmienečne ploché povrchy, ktoré možno definovať podľa dĺžky/šírky, polomeru/priemeru, uhlopriečok, výšok a uhlov.

Tomuto je venovaná celá sekcia geometrie, ktorá študuje rovinné útvary: štvorce, obdĺžniky, lichobežníky, kosoštvorce, kružnice, elipsy, trojuholníky – planimetrie.

Historické pozadie

Archeologické štúdie naznačujú, že starí Babylončania boli schopní zmerať povrch pred 4-5 tisíc rokmi. Práve babylonskej civilizácii sa pripisuje objav a implementácia tejto matematickej charakteristiky, na ktorej boli následne postavené tie najzložitejšie výpočty: od geografických po astronomické.

Pôvodne sa plocha používala iba na meranie pôdy. Boli rozdelené na štvorce rovnakej veľkosti, čo zjednodušilo účtovanie ornej pôdy a pasienkov. Následne bola charakteristika použitá v architektúre a urbanizme.

Ak bol v Babylone pojem "plocha" neoddeliteľne spojený so štvorcom (neskôr - obdĺžnikom), potom starí Egypťania rozšírili babylonské učenie a aplikovali ho na iné, zložitejšie postavy. Takže v starovekom Egypte vedeli, ako určiť oblasť rovnobežiek, trojuholníkov a lichobežníkov. Navyše podľa rovnakých základných vzorcov, ktoré sa používajú dnes.

Napríklad plocha obdĺžnika bola vypočítaná ako jeho dĺžka krát jeho šírka a plocha trojuholníka bola vypočítaná ako polovica jeho základne krát jeho výška. Pri práci so zložitejšími obrazcami (mnohosteny) sa najskôr rozdelili na jednoduché obrazce a potom sa vypočítali pomocou základných vzorcov, ktoré nahradili namerané hodnoty. Táto metóda sa stále používa v geometrii, napriek prítomnosti špeciálnych zložitých vzorcov pre mnohosteny.

Staroveké Grécko a India

Vedci sa naučili pracovať so zaoblenými postavami až v III-II storočí pred naším letopočtom. Hovoríme o starogréckych bádateľoch Euklidovi a Archimedesovi a najmä o základnom diele „Začiatky“ (knihy V a XII). Euklides v nich vedecky dokázal, že plochy kruhov spolu súvisia ako druhé mocniny ich priemerov. Vyvinul tiež metódu na zostrojenie postupnosti oblastí, ktoré ako rastú, postupne „vyčerpajú“ požadovanú oblasť.

Na druhej strane Archimedes prvýkrát v histórii vypočítal plochu segmentu paraboly a predložil inovatívne nápady vo svojej vedeckej práci na výpočte závitov špirál. Práve jemu patrí zásadný objav vpísaných a opísaných kružníc, ktorých polomery možno s vysokou presnosťou použiť na výpočet plôch mnohých geometrických útvarov.

Indickí vedci, ktorí sa poučili od starých Egypťanov a Grékov, pokračovali vo výskume aj v ranom stredoveku. Slávny astronóm a matematik Brahmagupta teda v 7. storočí nášho letopočtu zaviedol taký pojem ako „semiperimeter“ (označený ako p) a pomocou neho vyvinul nové vzorce na výpočet plochých štvoruholníkov vpísaných do kruhov. Ale všetky vzorce boli prezentované v "metrických" a iných vedeckých prácach nie v textovej, ale v grafickej forme: ako diagramy a kresby a svoju konečnú podobu dostali oveľa neskôr - až v 17. storočí v Európe.

Európa

Potom, v roku 1604, metódu vyčerpania objavenú Euklidom zovšeobecnil taliansky vedec Luca Valerio. Dokázal, že rozdiel medzi plochami vpísanej a opísanej postavy môže byť menší ako ktorákoľvek daná plocha za predpokladu, že sú tvorené rovnobežníkmi. A nemecký vedec Johannes Kepler (Johannes Kepler) najprv vypočítal oblasť elipsy, ktorú potreboval na astronomický výskum. Podstatou metódy bolo rozložiť elipsu na mnoho čiar s krokom 1 stupňa.

V 19.-20. storočí boli štúdie plôch plochých figúrok prakticky vyčerpané a prezentované v podobe, v akej ešte existujú. Iba objav Hermana Minkowského, ktorý navrhol použiť „obalovú vrstvu“ pre ploché figúry, ktorú možno s hrúbkou klesajúcou k nule považovať za inovatívnu, umožňuje určiť požadovanú plochu s vysokou presnosťou. Táto metóda však funguje iba vtedy, ak sa pozoruje aditívnosť, a nemožno ju považovať za univerzálnu.

Ako nájsť obsah (vzorce obsahu)

Starí Egypťania vedeli, ako vypočítať plochy jednoduchých geometrických tvarov, a ako sa civilizácie vyvíjali, objavovali sa stále nové a nové vzorce na výpočty.

Napríklad dnes pre obyčajný trojuholník existuje 7 vzorcov na výpočet plochy, z ktorých každý je správny pri dosadení číselných hodnôt namiesto premenných. To isté možno povedať o väčšine ostatných tvarov: kruh, štvorec, lichobežník, rovnobežník, kosoštvorec.

Trojuholník

Mali by ste začať trojuholníkom – základným geometrickým útvarom, na ktorom je postavená celá moderná trigonometria. Na výpočet plochy obyčajného (nie pravouhlého) trojuholníka existujú 4 základné vzorce:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

V týchto vzorcoch sú a, b a c dĺžky strán trojuholníka, h je jeho výška, r je polomer opísanej kružnice, R je polomer opísanej kružnice a p je polovica -obvod rovný - (a + b + c) / 2. Pomocou trigonometrie môžete určiť obsah trojuholníka pomocou troch ďalších vzorcov:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Podľa toho sú α, β a γ uhly medzi susednými stranami. Pomocou týchto vzorcov môžete vypočítať plochu akéhokoľvek trojuholníka vrátane pravouhlých a rovnostranných.

Ak je trojuholník pravouhlý, jeho obsah možno zistiť aj z prepony a výšky, z prepony a ostrého uhla, z ramena a ostrého uhla a tiež z polomeru vpísanej kružnice a prepony.

Štvorec a obdĺžnik

Ďalším jednoduchým geometrickým útvarom je štvorec, ktorého plochu možno vypočítať na základe znalosti dĺžky tváre alebo uhlopriečky. Vzorce na výpočty vyzerajú takto:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Podľa toho je a dĺžka tváre a d dĺžka uhlopriečky. Čo sa týka obdĺžnika, je preň možná len jedna možnosť na výpočet kvadratúry: podľa vzorca S = a ⋅ b, kde a a b sú dĺžky strán.

Paralelogram

V rovnobežníku sa všetky uhly líšia od 90 stupňov, ale spárované spolu dávajú 180 stupňov na každej strane. To znamená, že dva opačné uhly sú vždy ostré a ďalšie dva sú tupé. Vzhľadom na tieto vlastnosti existujú 3 vzorce na výpočet plochy rovnobežníka:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Podľa toho sú a a b dĺžky strán rovnobežníka, h je jeho výška, d1 a d2 sú dĺžky uhlopriečok, α je uhol medzi stranami a γ je uhol medzi uhlopriečkami. V závislosti od toho, ktoré z týchto hodnôt sú známe, môžete rýchlo určiť požadovanú oblasť ich nahradením namiesto premenných.

Kruh

Pri bežnom kruhu sú pri výpočte plochy dôležité iba polomer a priemer – bez ohľadu na obvod. Výpočty sa vykonávajú podľa vzorcov:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

V súlade s tým je π konštanta (rovná sa 3,14...), r je polomer kruhu a d je jeho priemer.

Štvoruholník

Kvadratúru konvexného štvoruholníka môžete vypočítať tak, že poznáte dĺžku jeho uhlopriečok a uhlov medzi nimi, dĺžky strán a uhly medzi nimi, ako aj polomery kružníc vpísaných a opísaných. Podľa toho možno použiť jeden zo štyroch vzorcov:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

V týchto vzorcoch sú d1 a d2 dĺžky uhlopriečok štvoruholníka, r je polomer vpísanej kružnice, p je polovica obvodu, α je uhol medzi uhlopriečkami a θ je polovica- súčet dvoch protiľahlých uhlov alebo (α + β) / 2.

Diamant

Na výpočet plochy tohto jednoduchého geometrického útvaru sa používajú 3 vzorce, v ktorých sú premenné výška, dĺžky strán, uhly a uhlopriečky. Na výpočet môžete použiť jednu z troch rovníc:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

V nich je a dĺžka strany kosoštvorca, h je dĺžka výšky, ktorá je k nemu znížená, α je uhol medzi dvoma stranami a d1 a d2 sú dĺžky uhlopriečok.

Lichobežník

Môžete určiť kvadratúru lichobežníka s dvoma rovnobežnými stranami, pričom poznáte jeho výšku a polovicu súčtu základní, ako aj pomocou dĺžok strán – podľa Heronovho vzorca:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

V týchto výrazoch sú a a b dĺžky základne lichobežníka, c a d sú dĺžky bočných plôch, h je výška a p je polobvod rovný (a + b + c + d) / 2.

Väčšina uvedených vzorcov sa dá ľahko vypočítať na papieri alebo v kalkulačke, ale najjednoduchšou možnosťou je dnes online aplikácia založená na prehliadači, v ktorej sú už všetky premenné špecifikované a zostáva len pridať známe čísla do ich prázdnych polí.

Plošná kalkulačka

Iné nástroje