В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с такой характеристикой как площадь. Например — площадь стола, стен, квартиры, участка, страны, континента. Она применима только к плоским и условно плоским поверхностям, которые можно определить по длине/ширине, радиусу/диаметру, диагоналям, высотам и углам.
Этому посвящён целый раздел геометрии, изучающий плоские фигуры: квадраты, прямоугольники, трапеции, ромбы, круги, эллипсы, треугольники, — планиметрия.
Историческая справка
Археологические исследования указывают на то, что измерять площадь поверхностей древние вавилоняне умели ещё 4–5 тысяч лет назад. Именно вавилонской цивилизации приписывают открытие и внедрение этой математической характеристики, на которой впоследствии были построены сложнейшие вычисления: начиная с географических, и заканчивая астрономическими.
Изначально площадь использовалась только для измерения земельных участков. Они делились на квадраты одинаковой величины, что упрощало учёт посевных угодий и пастбищ. Впоследствии характеристика нашла применение в архитектуре и градостроении.
Если в Вавилоне понятие «площадь» было неразрывно связано с квадратом (позже — прямоугольником), то древние египтяне расширили вавилонское учение и применили его к другим, более сложным фигурам. Так, в Древнем Египте умели определять площадь параллелограммов, треугольников и трапеций. Причём, по тем же основным формулам, которые применяются сегодня.
Например, площадь прямоугольника рассчитывалась как его длина помноженная на ширину, а площадь треугольника — как половина его основания, умноженная на высоту. При работе с более сложными фигурами (многогранниками) их сначала разбивали на простые фигуры, а затем рассчитывали по базовым формулам, подставляя измеренные значения. Этот метод применяется в геометрии до сих пор, несмотря на наличие специальных сложных формул для многогранников.
Древняя Греция и Индия
С округлыми фигурами учёные научились работать только в III–II веках до нашей эры. Речь идёт о древнегреческих исследователях Евклиде (Εὐκλείδης) и Архимеде (Ἀρχιμήδης), и в частности — о фундаментальном труде «Начала» (Στοιχεῖα) (книги V и XII). В них Евклид научно доказал, что площади кругов относятся друг к другу, как квадраты их диаметров. Он также разработал метод построения последовательности площадей, которые при нарастании постепенно «исчерпывают» искомую площадь.
В свою очередь, Архимед впервые в истории посчитал площадь сегмента параболы, и выдвинул в своём научном труде инновационные идеи о расчёте витков спиралей. Именно ему принадлежит фундаментальное открытие вписанных и описанных окружностей, по радиусам которых можно с высокой точностью вычислять площади многих геометрических фигур.
Индийские учёные, почерпнувшие знания у древних египтян и греков, продолжили исследования во времена раннего Средневековья. Так, знаменитый астроном и математик Брахмагупта (ब्रह्मगुप्त) в VII веке нашей эры ввёл в обращение такое понятие как «полупериметр» (обозначается как p), и с его применением разработал новые формулы для вычисления плоских четырёхугольников, вписанных в окружности. Но все формулы были представлены в «Метрике» и других научных трудах не в текстовом, а в графическом виде: как схемы и рисунки, и получили свой окончательный вид гораздо позже — только в XVII веке, в Европе.
Европа
Тогда же, в 1604 году — метод исчерпывания, открытый Евклидом, был обобщён итальянским учёным Лукой Валерио (Luca Valerio). Он доказал, что разность между площадями вписанной и описанной фигур можно сделать меньше любой данной площади — при условии, что они составлены из параллелограммов. А немецкий учёный Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) впервые рассчитал площадь эллипса, которая была нужна ему для астрономических исследований. Суть метода заключалась в разложении эллипса на множество линий с шагом в 1 градус.
По состоянию на XIX–XX века исследования площадей плоских фигур были практически исчерпаны и представлены в том виде, в котором они существуют до сих пор. Инновационным можно считать только открытие Германа Минковского (Hermann Minkowski), предложившего применять для плоских фигур «окутывающий слой», который при толщине, стремящейся к нулю, позволяет с высокой точностью определять искомую площадь поверхности. Но данный метод работает только при соблюдении аддитивности, и не может считаться универсальным.
