Calculator arie

Opțiuni
- Temă întunecată

Alte unelte

Calculator perimetru{$ ',' | translate $}
Calculator de volum{$ ',' | translate $}
Tabla înmulțirii{$ ',' | translate $}
Tabelul periodic{$ ',' | translate $}
Calculator de matrice{$ ',' | translate $}
Calculator CMMMC{$ ',' | translate $}
Calculator de trigonometrie{$ ',' | translate $}
Calculator CMMDC

Calculator arie

În viața de zi cu zi, întâlnim adesea o astfel de caracteristică precum zona. De exemplu - zona mesei, pereții, apartamentul, parcela, țara, continentul. Se aplică numai suprafețelor plane și condiționate plane care pot fi definite prin lungime/lățime, rază/diametru, diagonale, înălțimi și unghiuri.

O întreagă secțiune de geometrie este dedicată acestui lucru, studiind figurile plane: pătrate, dreptunghiuri, trapeze, romburi, cercuri, elipse, triunghiuri - planimetrie.

Historial

Studiile arheologice indică faptul că vechii babilonieni au putut măsura suprafața cu 4-5 mii de ani în urmă. Civilizația babiloniană este creditată cu descoperirea și implementarea acestei caracteristici matematice, pe care s-au construit ulterior cele mai complexe calcule: de la geografic la cel astronomic.

Inițial, suprafața a fost folosită doar pentru măsurarea terenului. Au fost împărțite în pătrate de aceeași dimensiune, ceea ce a simplificat contabilitatea terenurilor cultivate și a pășunilor. Ulterior, caracteristica a fost folosită în arhitectură și urbanism.

Dacă în Babilon conceptul de „zonă” era indisolubil legat de un pătrat (mai târziu - un dreptunghi), atunci egiptenii antici au extins învățătura babiloniană și au aplicat-o altor figuri mai complexe. Deci, în Egiptul antic, știau să determine aria paralelogramelor, triunghiurilor și trapezelor. Mai mult, conform acelorași formule de bază care sunt folosite astăzi.

De exemplu, aria unui dreptunghi a fost calculată ca lungime înmulțită cu lățimea sa, iar aria unui triunghi a fost calculată ca jumătate din baza sa înmulțită cu înălțimea sa. Când lucrați cu figuri mai complexe (poliedre), acestea au fost mai întâi defalcate în cifre simple, apoi calculate folosind formule de bază, înlocuind valorile măsurate. Această metodă este încă folosită în geometrie, în ciuda prezenței unor formule complexe speciale pentru poliedre.

Grecia antică și India

Oamenii de știință au învățat să lucreze cu cifre rotunjite abia în secolele III-II î.Hr. Vorbim despre cercetătorii greci antici Euclid și Arhimede, și în special despre lucrarea fundamentală „Începuturi” (cărțile V și XII). În ele, Euclid a demonstrat științific că ariile cercurilor sunt legate între ele ca pătratele diametrelor lor. De asemenea, a dezvoltat o metodă de construire a unei secvențe de zone care, pe măsură ce cresc, „epuizează” treptat zona dorită.

La rândul său, Arhimede a calculat pentru prima dată în istorie aria unui segment de parabolă și a prezentat idei inovatoare în munca sa științifică privind calcularea spirelor spiralelor. Lui îi aparține descoperirea fundamentală a cercurilor înscrise și circumscrise, ale căror raze pot fi folosite pentru a calcula zonele multor forme geometrice cu mare precizie.

Oamenii de știință indieni, după ce au învățat de la egiptenii și grecii antici, și-au continuat cercetările în timpul Evului Mediu timpuriu. Așadar, celebrul astronom și matematician Brahmagupta în secolul al VII-lea d.Hr. a introdus un astfel de concept ca „semiperimetru” (notat cu p) și, folosindu-l, a dezvoltat noi formule pentru calcularea patrulaterelor plate înscrise în cercuri. Dar toate formulele au fost prezentate în Metric și alte lucrări științifice nu sub formă textuală, ci sub formă grafică: sub formă de diagrame și desene, și au primit forma lor finală mult mai târziu - abia în secolul al XVII-lea, în Europa.

Europa

Apoi, în 1604, metoda epuizării descoperită de Euclid a fost generalizată de omul de știință italian Luca Valerio. El a demonstrat că diferența dintre ariile figurilor înscrise și circumscrise poate fi făcută mai mică decât orice zonă dată - cu condiția ca acestea să fie formate din paralelograme. Și omul de știință german Johannes Kepler (Johannes Kepler) a calculat mai întâi aria elipsei, de care avea nevoie pentru cercetările astronomice. Esența metodei a fost de a descompune elipsa în mai multe linii cu un pas de 1 grad.

În secolele XIX-XX, studiile asupra zonelor figurilor plate au fost practic epuizate și prezentate în forma în care există încă. Doar descoperirea lui Herman Minkowski, care a propus utilizarea unui „strat învăluitor” pentru figurile plate, care, cu o grosime care tinde spre zero, poate fi considerat inovator, face posibilă determinarea suprafeței dorite cu o precizie ridicată. Dar această metodă funcționează numai dacă se observă aditivitatea și nu poate fi considerată universală.

Cum se află aria (formule de calculare ale ariei)

Egiptenii antici știau să calculeze zonele formelor geometrice simple și, pe măsură ce civilizațiile se dezvoltau, au apărut din ce în ce mai multe formule noi pentru calcule.

De exemplu, astăzi pentru un triunghi obișnuit există 7 formule pentru calcularea ariei, fiecare dintre acestea fiind corectă atunci când se înlocuiesc valori numerice în loc de variabile. Același lucru se poate spune despre majoritatea celorlalte forme: cerc, pătrat, trapez, paralelogram, romb.

Triunghi

Ar trebui să începeți cu un triunghi - figura geometrică de bază pe care este construită toată trigonometria modernă. Există 4 formule de bază pentru a calcula aria unui triunghi obișnuit (nedreptunghiular):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

În aceste formule, a, b și c sunt lungimile laturilor triunghiului, h este înălțimea acestuia, r este raza cercului înscris, R este raza cercului circumscris și p este semi -perimetru egal cu - (a + b + c) / 2. Folosind trigonometrie, puteți determina aria unui triunghi folosind încă trei formule:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

În consecință, α, β și γ sunt unghiurile dintre laturile adiacente. Folosind aceste formule, puteți calcula aria oricărui triunghi, inclusiv cele dreptunghiulare și echilaterale.

Dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic, aria lui poate fi găsită și din ipotenuză și înălțime, din ipotenuză și unghi ascuțit, din catete și unghi ascuți, precum și din raza cercului și ipotenuzei înscrise.

Pătrat și dreptunghi

O altă figură geometrică simplă este un pătrat, a cărui zonă poate fi calculată cunoscând lungimea unei fețe sau a unei diagonale. Formulele pentru calcule arată astfel:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

În consecință, a este lungimea feței și d este lungimea diagonalei. În ceea ce privește dreptunghiul, pentru acesta este posibilă o singură opțiune de calcul al pătraturii: conform formulei S = a ⋅ b, unde a și b sunt lungimile laturilor.

Paralelogram

Într-un paralelogram, toate unghiurile sunt diferite de 90 de grade, dar asociate împreună dau 180 de grade pe fiecare parte. Adică două unghiuri opuse sunt întotdeauna acute, iar celelalte două sunt obtuze. Având în vedere aceste caracteristici, există 3 formule pentru calcularea ariei unui paralelogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

În consecință, a și b sunt lungimile laturilor paralelogramului, h este înălțimea acestuia, d1 și d2 sunt lungimile diagonalelor, α este unghiul dintre laturi și γ este unghiul dintre diagonale. În funcție de care dintre aceste valori sunt cunoscute, puteți determina rapid zona necesară înlocuindu-le în locul variabilelor.

Cerc

Pentru un cerc obișnuit, doar raza și diametrul contează atunci când se calculează suprafața - fără a lua în considerare circumferința. Calculele se efectuează după formulele:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

În consecință, π este o constantă (egal cu 3,14...), r este raza cercului și d este diametrul acestuia.

Cvadrangle

Puteți calcula cuadratura unui patrulater convex cunoscând lungimea diagonalelor sale și unghiurile dintre ele, lungimile laturilor și unghiurilor dintre ele, precum și razele cercurilor înscrise și circumscrise. În consecință, se poate aplica una dintre cele patru formule:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

În aceste formule, d1 și d2 sunt lungimile diagonalelor patrulaterului, r este raza cercului înscris, p este semiperimetrul, α este unghiul dintre diagonale și θ este jumătatea suma a două unghiuri opuse, sau (α + β) / 2.

Diamant

Pentru a calcula aria acestei figuri geometrice simple, se folosesc 3 formule, în care variabilele sunt înălțimea, lungimile laturilor, unghiurile și diagonalele. Pentru a calcula, puteți aplica una dintre cele trei ecuații:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

În ele, a este lungimea laturii rombului, h este lungimea înălțimii coborâte la acesta, α este unghiul dintre cele două laturi și d1 și d2 sunt lungimile diagonalelor.

Trapez

Puteți determina cuadratura unui trapez cu două laturi paralele, cunoscând înălțimea acestuia și jumătate din suma bazelor, precum și folosind lungimile laturilor - conform formulei lui Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

În aceste expresii, a și b sunt lungimile bazelor trapezului, c și d sunt lungimile fețelor laterale, h este înălțimea și p este semiperimetrul egal cu (a + b + c + d) / 2.

Majoritatea formulelor enumerate sunt ușor de calculat pe o bucată de hârtie sau pe un calculator, dar cea mai ușoară opțiune astăzi este o aplicație online bazată pe browser, în care toate variabilele sunt deja specificate și tot ce rămâne este să adăugați cunoscute numere în câmpurile lor goale.