W życiu codziennym często spotykamy się z taką cechą jak powierzchnia. Na przykład - powierzchnia stołu, ściany, mieszkanie, działka, kraj, kontynent. Dotyczy to tylko płaskich i warunkowo płaskich powierzchni, które można zdefiniować za pomocą długości/szerokości, promienia/średnicy, przekątnych, wysokości i kątów.
Poświęcony temu jest cały dział geometrii, studiujący figury płaskie: kwadraty, prostokąty, trapezy, romby, koła, elipsy, trójkąty - planimetria.
Tło historyczne
Badania archeologiczne wskazują, że starożytni Babilończycy byli w stanie zmierzyć powierzchnię 4-5 tysięcy lat temu. To cywilizacji babilońskiej przypisuje się odkrycie i wdrożenie tej cechy matematycznej, na której następnie zbudowano najbardziej złożone obliczenia: od geograficznych po astronomiczne.
Początkowo powierzchnia była używana tylko do pomiaru terenu. Dzielono je na kwadraty tej samej wielkości, co upraszczało rozliczanie pól uprawnych i pastwisk. Następnie cecha ta została wykorzystana w architekturze i urbanistyce.
Jeśli w Babilonie pojęcie „obszaru” było nierozerwalnie związane z kwadratem (później – prostokątem), to starożytni Egipcjanie rozszerzyli nauczanie babilońskie i zastosowali je do innych, bardziej złożonych figur. Tak więc w starożytnym Egipcie wiedzieli, jak określić obszar równoległoboków, trójkątów i trapezów. Co więcej, zgodnie z tymi samymi podstawowymi formułami, które są używane dzisiaj.
Na przykład pole prostokąta obliczono jako iloczyn jego długości i szerokości, a pole trójkąta jako połowę jego podstawy razy jego wysokość. Podczas pracy z bardziej złożonymi figurami (wielościanami) najpierw rozbijano je na figury proste, a następnie obliczano za pomocą podstawowych wzorów, podstawiając zmierzone wartości. Ta metoda jest nadal stosowana w geometrii, pomimo obecności specjalnych złożonych wzorów na wielościany.
Starożytna Grecja i Indie
Naukowcy nauczyli się pracować z zaokrąglonymi figurami dopiero w III-II wieku pne. Mówimy o starożytnych greckich badaczach Euklidesie i Archimedesie, aw szczególności o fundamentalnym dziele „Początki” (księgi V i XII). W nich Euclid naukowo udowodnił, że obszary kół są ze sobą powiązane jak kwadraty ich średnic. Opracował również metodę konstruowania sekwencji obszarów, które w miarę wzrostu stopniowo „wyczerpują” pożądany obszar.
Z kolei Archimedes po raz pierwszy w historii obliczył pole odcinka paraboli i wysunął nowatorskie pomysły w swojej pracy naukowej dotyczącej obliczania zwojów spiral. To do niego należy fundamentalne odkrycie okręgów wpisanych i opisanych, których promienie można wykorzystać do obliczenia powierzchni wielu figur geometrycznych z dużą dokładnością.
Indyjscy naukowcy, którzy uczyli się od starożytnych Egipcjan i Greków, kontynuowali swoje badania we wczesnym średniowieczu. Tak więc słynny astronom i matematyk Brahmagupta w VII wieku naszej ery wprowadził takie pojęcie jak „półobwód” (oznaczony jako p) i na jego podstawie opracował nowe wzory do obliczania płaskich czworokątów wpisanych w koła. Ale wszystkie formuły zostały przedstawione w „Metryce” i innych pracach naukowych nie w tekście, ale w formie graficznej: jako diagramy i rysunki, a ostateczną formę otrzymały znacznie później - dopiero w XVII wieku w Europie.
Europa
Następnie, w 1604 roku, metoda wyczerpania odkryta przez Euklidesa została uogólniona przez włoskiego naukowca Lucę Valerio. Udowodnił, że różnica między polami figury wpisanej i opisanej może być mniejsza niż dowolne pole, pod warunkiem, że składają się one z równoległoboków. A niemiecki naukowiec Johannes Kepler (Johannes Kepler) najpierw obliczył obszar elipsy, którego potrzebował do badań astronomicznych. Istotą metody było rozłożenie elipsy na wiele linii z krokiem 1 stopnia.
Od XIX-XX wieku badania obszarów figur płaskich zostały praktycznie wyczerpane i przedstawione w formie, w jakiej istnieją do dziś. Dopiero odkrycie Hermana Minkowskiego, który zaproponował zastosowanie „warstwy obwiedniowej” dla płaskich figur, którą przy grubości dążącej do zera można uznać za nowatorską, umożliwia określenie pożądanej powierzchni z dużą dokładnością. Ale ta metoda działa tylko wtedy, gdy obserwuje się addytywność i nie można jej uznać za uniwersalną.
