Arealkalkulator

I hverdagen møter vi ofte en slik egenskap som område. For eksempel - området til bordet, veggene, leiligheten, tomten, landet, kontinentet. Den gjelder bare for flate og betinget flate overflater som kan defineres av lengde/bredde, radius/diameter, diagonaler, høyder og vinkler.

En hel del av geometrien er viet til dette, og studerer plane figurer: kvadrater, rektangler, trapeser, romber, sirkler, ellipser, trekanter - planimetri.

Historisk bakgrunn

Arkeologiske studier indikerer at de gamle babylonerne var i stand til å måle overflaten for 4-5 tusen år siden. Det er den babylonske sivilisasjonen som er kreditert med oppdagelsen og implementeringen av denne matematiske egenskapen, som de mest komplekse beregningene senere ble bygget på: fra geografisk til astronomisk.

I utgangspunktet ble areal kun brukt til å måle land. De ble delt inn i firkanter av samme størrelse, noe som forenklet regnskapet av avlingsland og beitemark. Deretter ble karakteristikken brukt i arkitektur og byplanlegging.

Hvis konseptet "område" i Babylon var uløselig knyttet til et kvadrat (senere - et rektangel), utvidet de gamle egypterne den babylonske læren og brukte den på andre, mer komplekse figurer. Så i det gamle Egypt visste de hvordan de skulle bestemme området til parallellogrammer, trekanter og trapeser. Dessuten i henhold til de samme grunnleggende formlene som brukes i dag.

For eksempel ble arealet til et rektangel beregnet som dets lengde ganger bredden, og arealet til en trekant ble beregnet som halvparten av dets basis ganger høyden. Når du arbeider med mer komplekse figurer (polyedre), ble de først brutt ned i enkle figurer, og deretter beregnet ved hjelp av grunnleggende formler, og erstattet de målte verdiene. Denne metoden brukes fortsatt i geometri, til tross for tilstedeværelsen av spesielle komplekse formler for polyedre.

Antidens Hellas og India

Forskere lærte å jobbe med avrundede figurer først i III-II århundrer f.Kr. Vi snakker om de antikke greske forskerne Euklid og Arkimedes, og spesielt om det grunnleggende verket «Begynnelser» (bok V og XII). I dem beviste Euclid vitenskapelig at arealene av sirkler er relatert til hverandre som kvadratene av deres diametere. Han utviklet også en metode for å konstruere en sekvens av områder, som, ettersom de vokser, gradvis "tømmer" det ønskede området.

I sin tur beregnet Arkimedes for første gang i historien arealet til et segment av en parabel, og fremmet innovative ideer i sitt vitenskapelige arbeid med å beregne svingene til spiraler. Det er til ham den grunnleggende oppdagelsen av innskrevne og omskrevne sirkler tilhører, hvis radier kan brukes til å beregne arealene til mange geometriske former med høy nøyaktighet.

Indiske forskere, etter å ha lært av de gamle egypterne og grekerne, fortsatte sin forskning i tidlig middelalder. Så den berømte astronomen og matematikeren Brahmagupta på 700-tallet e.Kr. introduserte et slikt konsept som "semiperimeter" (betegnet som p), og ved å bruke det utviklet nye formler for å beregne flate firkanter innskrevet i sirkler. Men alle formlene ble presentert i "Metric" og andre vitenskapelige arbeider, ikke i tekst, men i grafisk form: som diagrammer og tegninger, og fikk sin endelige form mye senere - bare på 1600-tallet, i Europa.

Europa

Så, i 1604, ble utmattelsesmetoden oppdaget av Euclid generalisert av den italienske vitenskapsmannen Luca Valerio. Han beviste at forskjellen mellom arealene til en innskrevet og omskreven figur kan gjøres mindre enn et gitt område, forutsatt at de består av parallellogrammer. Og den tyske forskeren Johannes Kepler (Johannes Kepler) beregnet først arealet av ellipsen, som han trengte for astronomisk forskning. Essensen av metoden var å dekomponere ellipsen i mange linjer med et trinn på 1 grad.

Fra og med 1800- og 1900-tallet var studier av flate figurers områder praktisk talt uttømt og presentert i den formen de fortsatt eksisterer i. Bare oppdagelsen av Herman Minkowski, som foreslo å bruke et "omsluttende lag" for flate figurer, som, med en tykkelse som tenderer til null, kan betraktes som nyskapende, gjør det mulig å bestemme ønsket overflateareal med høy nøyaktighet. Men denne metoden fungerer bare hvis additivitet observeres, og kan ikke betraktes som universell.

Slik beregner du overflate (overflateformler)

De gamle egypterne visste hvordan de skulle beregne arealene til enkle geometriske former, og etter hvert som sivilisasjonene utviklet seg, dukket det opp flere og flere nye formler for beregninger.

For eksempel, i dag for en vanlig trekant er det 7 formler for å beregne arealet, som hver er riktig når du erstatter numeriske verdier i stedet for variabler. Det samme kan sies om de fleste andre former: sirkel, firkant, trapes, parallellogram, rombe.

Trekant

Du bør starte med en trekant – den grunnleggende geometriske figuren som all moderne trigonometri er bygget på. Det er 4 grunnleggende formler for å beregne arealet av en vanlig (ikke-rektangulær) trekant:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ t.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

I disse formlene er a, b og c lengdene på sidene i trekanten, h er høyden, r er radiusen til den innskrevne sirkelen, R er radiusen til den omskrevne sirkelen, og p er semi -perimeter lik - (a + b + c) / 2. Ved hjelp av trigonometri kan du bestemme arealet av en trekant ved å bruke tre formler til:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Følgelig er α, β og γ vinklene mellom tilstøtende sider. Ved å bruke disse formlene kan du beregne arealet til en hvilken som helst trekant, inkludert rettvinklede og likesidede.

Hvis trekanten er en rettvinklet trekant, kan arealet også finnes fra hypotenusen og høyden, fra hypotenusen og den spisse vinkelen, fra benet og den spisse vinkelen, og også fra radiusen til den innskrevne sirkelen og hypotenusen.

Kvadrat og rektangel

En annen enkel geometrisk figur er en firkant, hvis areal kan beregnes ved å vite lengden på en flate eller diagonal. Formler for beregninger ser slik ut:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Følgelig er a lengden på ansiktet, og d er lengden på diagonalen. Når det gjelder rektangelet, er bare ett alternativ for å beregne kvadraturen mulig for det: i henhold til formelen S = a ⋅ b, hvor a og b er lengdene på sidene.

Parallelogram

I et parallellogram er alle vinkler forskjellige fra 90 grader, men paret sammen gir det 180 grader på hver side. Det vil si at to motsatte vinkler alltid er spisse, og de to andre er stumpe. Gitt disse funksjonene, er det 3 formler for å beregne arealet til et parallellogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A og b er følgelig lengdene på sidene av parallellogrammet, h er høyden, d1 og d2 er lengdene på diagonalene, α er vinkelen mellom sidene og γ er vinkelen mellom diagonalene. Avhengig av hvilke av disse verdiene som er kjent, kan du raskt bestemme det nødvendige området ved å erstatte dem i stedet for variabler.

Kirkel

For en vanlig sirkel er det kun radius og diameter som betyr noe når arealet beregnes - uten å ta hensyn til omkretsen. Beregninger utføres i henhold til formlene:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Følgelig er π en konstant (lik 3,14...), r er radiusen til sirkelen, og d er dens diameter.

Firekant

Du kan beregne kvadraturen til en konveks firkant ved å vite lengden på diagonalene og vinklene mellom dem, lengden på sidene og vinklene mellom dem, samt radiene til de innskrevne og omskrevne sirklene. Følgelig kan én av fire formler brukes:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

I disse formlene er d1 og d2 lengdene på diagonalene til firkanten, r er radiusen til den innskrevne sirkelen, p er halvomkretsen, α er vinkelen mellom diagonalene, og θ er halv- summen av to motstående vinkler, eller (α + β) / 2.

Diamant

For å beregne arealet til denne enkle geometriske figuren, brukes 3 formler, der variablene er høyde, sidelengder, vinkler og diagonaler. For å beregne, kan du bruke en av tre ligninger:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

I dem er a lengden på siden av romben, h er lengden på høyden senket til den, α er vinkelen mellom de to sidene, og d1 og d2 er lengdene på diagonalene.

Trapes

Du kan bestemme kvadraturen til en trapes med to parallelle sider, kjenne dens høyde og halve summen av basene, samt bruke lengdene på sidene - i henhold til Herons formel:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

I disse uttrykkene er a og b lengdene på basene til trapesen, c og d er lengdene på sideflatene, h er høyden og p er halvperimeteren lik (a + b + c + d) / 2.

De fleste av de listede formlene er enkle å beregne på et stykke papir eller en kalkulator, men det enkleste alternativet i dag er en nettleserbasert nettapplikasjon der alle variablene allerede er spesifisert, og alt som gjenstår er å legge til kjente tall til de tomme feltene.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Arealkalkulator