Oppervlaktecalculator

In het dagelijks leven komen we zo'n kenmerk als gebied vaak tegen. Bijvoorbeeld - de oppervlakte van de tafel, muren, appartement, perceel, land, continent. Het is alleen van toepassing op vlakke en voorwaardelijk vlakke oppervlakken die kunnen worden gedefinieerd door lengte/breedte, straal/diameter, diagonalen, hoogten en hoeken.

Een heel deel van de meetkunde is hieraan gewijd, waarbij vlakke figuren worden bestudeerd: vierkanten, rechthoeken, trapeziums, ruiten, cirkels, ellipsen, driehoeken - planimetrie.

Historische achtergrond

Archeologische studies geven aan dat de oude Babyloniërs de oppervlakte 4-5 duizend jaar geleden konden meten. Het is de Babylonische beschaving die wordt gecrediteerd voor de ontdekking en implementatie van dit wiskundige kenmerk, waarop vervolgens de meest complexe berekeningen zijn gebaseerd: van geografisch tot astronomisch.

Aanvankelijk werd oppervlakte alleen gebruikt om land te meten. Ze waren verdeeld in vierkanten van dezelfde grootte, wat de boekhouding van akkerland en weiland vereenvoudigde. Vervolgens werd het kenmerk gebruikt in de architectuur en stedenbouw.

Als in Babylon het concept van "gebied" onlosmakelijk verbonden was met een vierkant (later - een rechthoek), dan breidden de oude Egyptenaren de Babylonische leer uit en pasten het toe op andere, meer complexe figuren. Dus in het oude Egypte wisten ze hoe ze het gebied van parallellogrammen, driehoeken en trapeziums moesten bepalen. Bovendien volgens dezelfde basisformules die tegenwoordig worden gebruikt.

De oppervlakte van een rechthoek werd bijvoorbeeld berekend als de lengte maal de breedte, en de oppervlakte van een driehoek werd berekend als de helft van de basis maal de hoogte. Bij het werken met complexere figuren (veelvlakken) werden ze eerst opgesplitst in eenvoudige figuren en vervolgens berekend met behulp van basisformules, ter vervanging van de gemeten waarden. Deze methode wordt nog steeds gebruikt in de geometrie, ondanks de aanwezigheid van speciale complexe formules voor veelvlakken.

Het oude Griekenland en India

Wetenschappers leerden pas in de III-II eeuw voor Christus met afgeronde figuren te werken. We hebben het over de oude Griekse onderzoekers Euclides en Archimedes, en in het bijzonder over het fundamentele werk "Beginnings" (boeken V en XII). Daarin bewees Euclides wetenschappelijk dat de gebieden van cirkels aan elkaar gerelateerd zijn als de vierkanten van hun diameters. Hij ontwikkelde ook een methode om een opeenvolging van gebieden te construeren, die naarmate ze groter worden het gewenste gebied geleidelijk "uitputten".

Op zijn beurt berekende Archimedes voor het eerst in de geschiedenis de oppervlakte van een segment van een parabool en bracht hij innovatieve ideeën naar voren in zijn wetenschappelijke werk over het berekenen van de windingen van spiralen. Het is aan hem dat de fundamentele ontdekking van ingeschreven en omgeschreven cirkels behoort, waarvan de stralen kunnen worden gebruikt om de oppervlakten van vele geometrische vormen met hoge nauwkeurigheid te berekenen.

Indiase wetenschappers, die geleerd hadden van de oude Egyptenaren en Grieken, zetten hun onderzoek voort tijdens de vroege Middeleeuwen. Dus de beroemde astronoom en wiskundige Brahmagupta introduceerde in de 7e eeuw na Christus een concept als "semiperimeter" (aangeduid als p), en ontwikkelde nieuwe formules voor het berekenen van platte vierhoeken die in cirkels zijn ingeschreven. Maar alle formules werden gepresenteerd in de "Metric" en andere wetenschappelijke werken, niet in tekst, maar in grafische vorm: als diagrammen en tekeningen, en kregen hun definitieve vorm veel later - pas in de 17e eeuw, in Europa.

Europa

Toen, in 1604, werd de door Euclides ontdekte uitputtingsmethode veralgemeend door de Italiaanse wetenschapper Luca Valerio. Hij bewees dat het verschil tussen de oppervlakten van een ingeschreven en omgeschreven figuur kleiner kan worden gemaakt dan een gegeven oppervlakte, op voorwaarde dat ze uit parallellogrammen bestaan. En de Duitse wetenschapper Johannes Kepler (Johannes Kepler) berekende eerst de oppervlakte van de ellips, die hij nodig had voor astronomisch onderzoek. De essentie van de methode was om de ellips op te splitsen in vele lijnen met een stap van 1 graad.

Vanaf de 19e-20e eeuw waren studies van de gebieden van platte figuren praktisch uitgeput en gepresenteerd in de vorm waarin ze nog steeds bestaan. Alleen de ontdekking van Herman Minkowski, die voorstelde om een "omhullende laag" voor platte figuren te gebruiken, die met een dikte die neigt naar nul, als innovatief kan worden beschouwd, maakt het mogelijk om het gewenste oppervlak met hoge nauwkeurigheid te bepalen. Maar deze methode werkt alleen als additiviteit wordt waargenomen en kan niet als universeel worden beschouwd.

De oude Egyptenaren wisten hoe ze de oppervlakte van eenvoudige geometrische vormen moesten berekenen, en naarmate beschavingen zich ontwikkelden, verschenen er steeds meer nieuwe formules voor berekeningen.

Vandaag zijn er bijvoorbeeld voor een gewone driehoek 7 formules voor het berekenen van de oppervlakte, die elk correct zijn bij het vervangen van numerieke waarden in plaats van variabelen. Hetzelfde kan gezegd worden over de meeste andere vormen: cirkel, vierkant, trapezium, parallellogram, ruit.

Driehoek

Je moet beginnen met een driehoek - de geometrische basisfiguur waarop alle moderne trigonometrie is gebouwd. Er zijn 4 basisformules om de oppervlakte van een gewone (niet-rechthoekige) driehoek te berekenen:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

In deze formules zijn a, b en c de lengtes van de zijden van de driehoek, h is de hoogte, r is de straal van de ingeschreven cirkel, R is de straal van de omgeschreven cirkel en p is de halve -omtrek gelijk aan - (a + b + c) / 2. Met trigonometrie kunt u de oppervlakte van een driehoek bepalen met nog drie formules:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ zonde γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ zonde β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ zonde α.

Dienovereenkomstig zijn α, β en γ de hoeken tussen aangrenzende zijden. Met deze formules kun je de oppervlakte van elke driehoek berekenen, inclusief rechthoekige en gelijkzijdige driehoeken.

Als de driehoek een rechthoekige driehoek is, kan de oppervlakte ook worden bepaald vanuit de hypotenusa en de hoogte, vanuit de hypotenusa en de scherpe hoek, vanuit het been en de scherpe hoek, en ook vanuit de straal van de ingeschreven cirkel en de hypotenusa.

Vierkant en Rechthoek

Een andere eenvoudige geometrische figuur is een vierkant, waarvan de oppervlakte kan worden berekend door de lengte van een vlak of diagonaal te kennen. Formules voor berekeningen zien er als volgt uit:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Dienovereenkomstig is a de lengte van het vlak en d de lengte van de diagonaal. Wat de rechthoek betreft, is er maar één optie voor het berekenen van de kwadratuur: volgens de formule S = a ⋅ b, waarbij a en b de lengtes van de zijden zijn.

Parallellogram

In een parallellogram zijn alle hoeken verschillend van 90 graden, maar samen vormen ze 180 graden aan elke zijde. Dat wil zeggen, twee tegenover elkaar liggende hoeken zijn altijd scherp en de andere twee zijn stomp. Gezien deze kenmerken zijn er 3 formules voor het berekenen van de oppervlakte van een parallellogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ zonde γ.

Dienovereenkomstig zijn a en b de lengtes van de zijden van het parallellogram, h is de hoogte, d1 en d2 zijn de lengtes van de diagonalen, α is de hoek tussen de zijden en γ is de hoek tussen de diagonalen. Afhankelijk van welke van deze waarden bekend zijn, kunt u snel het vereiste gebied bepalen door ze te vervangen in plaats van variabelen.

Cirkel

Voor een regelmatige cirkel zijn alleen de straal en diameter van belang bij het berekenen van de oppervlakte - zonder rekening te houden met de omtrek. Berekeningen worden uitgevoerd volgens de formules:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Dienovereenkomstig is π een constante (gelijk aan 3,14...), r is de straal van de cirkel en d is de diameter.

Vierhoek

Je kunt de kwadratuur van een convexe vierhoek berekenen door de lengte van de diagonalen en de hoeken ertussen, de lengtes van de zijden en de hoeken daartussen, en de stralen van de ingeschreven en omgeschreven cirkels te kennen. Dienovereenkomstig kan een van de vier formules worden toegepast:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ zonde α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

In deze formules zijn d1 en d2 de lengten van de diagonalen van de vierhoek, r is de straal van de ingeschreven cirkel, p is de halve omtrek, α is de hoek tussen de diagonalen en θ is de halve omtrek som van twee tegenoverliggende hoeken, of (α + β) / 2.

Diamant

Om de oppervlakte van deze eenvoudige geometrische figuur te berekenen, worden 3 formules gebruikt, waarin de variabelen hoogte, zijlengtes, hoeken en diagonalen zijn. Om te berekenen, kunt u een van de volgende drie vergelijkingen toepassen:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Daarin is a de lengte van de zijde van de ruit, h is de lengte van de hoogte die erop is neergelaten, α is de hoek tussen de twee zijden en d1 en d2 zijn de lengtes van de diagonalen.

Trapezium

Je kunt de kwadratuur van een trapezium met twee evenwijdige zijden bepalen, door de hoogte en de helft van de som van de basissen te kennen, en door de lengtes van de zijden te gebruiken - volgens de formule van Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

In deze uitdrukkingen zijn a en b de lengtes van de basis van de trapezium, c en d zijn de lengtes van de zijvlakken, h is de hoogte en p is de halve omtrek gelijk aan (a + b + c + d) / 2.

De meeste vermelde formules zijn eenvoudig te berekenen op een stuk papier of een rekenmachine, maar de eenvoudigste optie is tegenwoordig een browsergebaseerde online applicatie waarin alle variabelen al zijn opgegeven en het enige dat overblijft is het toevoegen van bekende nummers naar hun lege velden.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Oppervlaktecalculator