Kalkulator kawasan

Tetapan
- Tema gelap

Alat lain

Kalkulator perimeter{$ ',' | translate $}
Kalkulator isi padu{$ ',' | translate $}
Jadual pendaraban{$ ',' | translate $}
Jadual berkala{$ ',' | translate $}
Kalkulator matriks{$ ',' | translate $}
Kalkulator LCM{$ ',' | translate $}
Kalkulator trigonometri{$ ',' | translate $}
Kalkulator GCF

Kalkulator kawasan

Dalam kehidupan seharian, kita sering menghadapi ciri seperti kawasan. Contohnya - kawasan meja, dinding, apartmen, plot, negara, benua. Ia hanya terpakai pada permukaan rata dan rata bersyarat yang boleh ditakrifkan mengikut panjang/lebar, jejari/diameter, pepenjuru, ketinggian dan sudut.

Seluruh bahagian geometri dikhaskan untuk ini, mengkaji angka satah: segi empat sama, segi empat tepat, trapezoid, rombus, bulatan, elips, segi tiga - planimetri.

Latar belakang sejarah

Kajian arkeologi menunjukkan bahawa orang Babylon purba dapat mengukur luas permukaan 4-5 ribu tahun dahulu. Tamadun Babylonlah yang dikreditkan dengan penemuan dan pelaksanaan ciri matematik ini, di mana pengiraan yang paling kompleks kemudiannya dibina: dari geografi kepada astronomi.

Pada mulanya, kawasan hanya digunakan untuk mengukur tanah. Mereka dibahagikan kepada segi empat sama saiz yang sama, yang memudahkan perakaunan tanah pertanian dan padang rumput. Selepas itu, ciri tersebut digunakan dalam seni bina dan perancangan bandar.

Jika di Babylon konsep "kawasan" dikaitkan erat dengan segi empat sama (kemudian - segi empat tepat), maka orang Mesir purba mengembangkan ajaran Babylon dan menerapkannya kepada tokoh lain yang lebih kompleks. Jadi, di Mesir kuno mereka tahu bagaimana untuk menentukan luas segi empat selari, segi tiga dan trapezoid. Selain itu, mengikut formula asas yang sama yang digunakan hari ini.

Sebagai contoh, luas segi empat tepat dikira sebagai panjangnya dikali lebarnya, dan luas segi tiga dikira sebagai separuh daripada tapaknya dikali tingginya. Apabila bekerja dengan angka yang lebih kompleks (polyhedra), mereka mula-mula dipecahkan kepada angka mudah, dan kemudian dikira menggunakan formula asas, menggantikan nilai yang diukur. Kaedah ini masih digunakan dalam geometri, walaupun terdapat formula kompleks khas untuk polyhedra.

Yunani Purba dan India

Para saintis belajar bekerja dengan angka bulat hanya pada abad III-II SM. Kita bercakap tentang penyelidik Yunani kuno Euclid dan Archimedes, dan khususnya mengenai karya asas "Permulaan" (buku V dan XII). Di dalamnya, Euclid secara saintifik membuktikan bahawa kawasan bulatan adalah berkaitan antara satu sama lain sebagai kuasa dua diameternya. Dia juga membangunkan kaedah untuk membina urutan kawasan, yang, apabila ia membesar, secara beransur-ansur "mengeluarkan" kawasan yang dikehendaki.

Seterusnya, Archimedes buat kali pertama dalam sejarah mengira luas segmen parabola, dan mengemukakan idea-idea inovatif dalam kerja saintifiknya untuk mengira lilitan lingkaran. Dialah yang mempunyai penemuan asas bagi bulatan bersurat dan berbatas, yang jejarinya boleh digunakan untuk mengira luas bagi banyak bentuk geometri dengan ketepatan yang tinggi.

Para saintis India, setelah belajar daripada orang Mesir dan Yunani purba, meneruskan penyelidikan mereka pada awal Zaman Pertengahan. Jadi, ahli astronomi dan ahli matematik terkenal Brahmagupta pada abad ke-7 Masihi memperkenalkan konsep seperti "semiperimeter" (ditandakan sebagai p), dan menggunakannya membangunkan formula baru untuk mengira segi empat rata yang ditulis dalam bulatan. Tetapi semua formula dibentangkan dalam "Metrik" dan karya saintifik lain bukan dalam teks, tetapi dalam bentuk grafik: sebagai gambar rajah dan lukisan, dan menerima bentuk terakhirnya tidak lama kemudian - hanya pada abad ke-17, di Eropah.

Eropah

Kemudian, pada tahun 1604, kaedah keletihan yang ditemui oleh Euclid telah digeneralisasikan oleh saintis Itali Luca Valerio. Beliau membuktikan bahawa perbezaan antara luas rajah tersurat dan berhad boleh dibuat lebih kecil daripada mana-mana kawasan tertentu, dengan syarat ia terdiri daripada segi empat selari. Dan saintis Jerman Johannes Kepler (Johannes Kepler) mula-mula mengira kawasan elips, yang dia perlukan untuk penyelidikan astronomi. Intipati kaedah ini adalah untuk menguraikan elips kepada banyak baris dengan langkah 1 darjah.

Sejak abad ke-19-20, kajian mengenai kawasan angka rata secara praktikalnya telah habis dan dibentangkan dalam bentuk yang masih wujud. Hanya penemuan Herman Minkowski, yang mencadangkan untuk menggunakan "lapisan menyelubungi" untuk angka rata, yang, dengan ketebalan cenderung kepada sifar, boleh dianggap sebagai inovatif, memungkinkan untuk menentukan kawasan permukaan yang dikehendaki dengan ketepatan yang tinggi. Tetapi kaedah ini hanya berfungsi jika aditiviti diperhatikan, dan tidak boleh dianggap universal.

Bagaimana mencari kawasan (formula kawasan)

Orang Mesir purba tahu cara mengira kawasan bentuk geometri mudah, dan apabila tamadun berkembang, semakin banyak formula baharu untuk pengiraan muncul.

Sebagai contoh, hari ini untuk segi tiga biasa terdapat 7 formula untuk mengira luas, setiap satunya betul apabila menggantikan nilai berangka dan bukannya pembolehubah. Perkara yang sama boleh dikatakan tentang kebanyakan bentuk lain: bulatan, segi empat sama, trapezium, selari, rombus.

Segi tiga

Anda harus bermula dengan segi tiga - angka geometri asas di mana semua trigonometri moden dibina. Terdapat 4 formula asas untuk mengira luas segi tiga biasa (bukan segi empat tepat):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ jam.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Dalam rumus ini, a, b dan c ialah panjang sisi segi tiga, h ialah ketinggiannya, r ialah jejari bulatan tersurat, R ialah jejari bagi bulatan berbatas, dan p ialah separuh -perimeter sama dengan - (a + b + c) / 2. Menggunakan trigonometri, anda boleh menentukan luas segi tiga menggunakan tiga lagi formula:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ dosa α.

Oleh itu, α, β dan γ ialah sudut antara sisi bersebelahan. Menggunakan formula ini, anda boleh mengira luas mana-mana segi tiga, termasuk yang bersudut tegak dan sama sisi.

Jika segi tiga ialah segi tiga tegak, luasnya juga boleh didapati dari hipotenus dan ketinggian, dari hipotenus dan sudut akut, dari kaki dan sudut akut, dan juga dari jejari bulatan tersurat dan hipotenus.

Segi Segiempat dan Segi Empat

Satu lagi rajah geometri mudah ialah segi empat sama, yang luasnya boleh dikira dengan mengetahui panjang muka atau pepenjuru. Formula untuk pengiraan kelihatan seperti ini:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Oleh itu, a ialah panjang muka, dan d ialah panjang pepenjuru. Bagi segi empat tepat, hanya satu pilihan untuk mengira kuadratur yang mungkin untuknya: mengikut formula S = a ⋅ b, dengan a dan b ialah panjang sisi.

Paralelogram

Dalam segi empat selari, semua sudut adalah berbeza daripada 90 darjah, tetapi berganding bersama-sama memberikan 180 darjah pada setiap sisi. Iaitu, dua sudut bertentangan sentiasa akut, dan dua lagi adalah tumpul. Memandangkan ciri-ciri ini, terdapat 3 formula untuk mengira luas segi empat selari:

S = a ⋅ jam.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Oleh itu, a dan b ialah panjang sisi segi empat selari, h ialah ketinggiannya, d1 dan d2 ialah panjang pepenjuru, α ialah sudut antara sisi, dan γ ialah sudut antara pepenjuru. Bergantung pada nilai mana yang diketahui, anda boleh menentukan kawasan yang diperlukan dengan cepat dengan menggantikannya sebagai ganti pembolehubah.

Kalangan

Untuk bulatan biasa, hanya jejari dan diameter penting semasa mengira luas - tanpa mengambil kira lilitan. Pengiraan dijalankan mengikut formula:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Oleh itu, π ialah pemalar (bersamaan dengan 3.14...), r ialah jejari bulatan, dan d ialah diameternya.

Segiempat

Anda boleh mengira sukuan segi empat cembung dengan mengetahui panjang pepenjurunya dan sudut di antaranya, panjang sisi dan sudut di antaranya, serta jejari bulatan bergaris dan berhad. Sehubungan itu, satu daripada empat formula boleh digunakan:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Dalam formula ini, d1 dan d2 ialah panjang pepenjuru segi empat, r ialah jejari bulatan tersurat, p ialah separuh perimeter, α ialah sudut antara pepenjuru, dan θ ialah separuh- hasil tambah dua sudut bertentangan, atau (α + β) / 2.

Berlian

Untuk mengira luas rajah geometri mudah ini, 3 formula digunakan, di mana pembolehubahnya ialah ketinggian, panjang sisi, sudut dan pepenjuru. Untuk mengira, anda boleh menggunakan salah satu daripada tiga persamaan:

S = a ⋅ jam.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Di dalamnya, a ialah panjang sisi rombus, h ialah panjang ketinggian yang diturunkan kepadanya, α ialah sudut antara kedua-dua belah, dan d1 dan d2 ialah panjang pepenjuru.

Trapezoid

Anda boleh menentukan kuadratur trapezoid dengan dua sisi selari, mengetahui ketinggiannya dan separuh jumlah tapak, serta menggunakan panjang sisi - mengikut formula Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Dalam ungkapan ini, a dan b ialah panjang tapak trapezoid, c dan d ialah panjang muka sisi, h ialah ketinggian, dan p ialah separuh perimeter sama dengan (a + b + c + d) / 2.

Kebanyakan formula yang disenaraikan mudah dikira pada sehelai kertas atau kalkulator, tetapi pilihan paling mudah hari ini ialah aplikasi dalam talian berasaskan penyemak imbas di mana semua pembolehubah telah ditentukan dan yang tinggal hanyalah menambah yang diketahui nombor ke medan kosongnya.