Laukuma kalkulators

Ikdienā mēs bieži sastopamies ar tādu īpašību kā apgabals. Piemēram - galda laukums, sienas, dzīvoklis, zemes gabals, valsts, kontinents. Tas attiecas tikai uz plakanām un nosacīti līdzenām virsmām, kuras var definēt pēc garuma/platuma, rādiusa/diametra, diagonāles, augstuma un leņķiem.

Tam ir veltīta vesela ģeometrijas sadaļa, pētot plaknes figūras: kvadrātus, taisnstūrus, trapeces, rombus, apļus, elipses, trīsstūrus — planimetriju.

Vēsturiskais fons

Arheoloģiskie pētījumi liecina, ka senie babilonieši varēja izmērīt virsmas laukumu pirms 4-5 tūkstošiem gadu. Šī matemātiskā raksturlieluma atklāšanā un ieviešanā, uz kuras vēlāk tika veikti vissarežģītākie aprēķini: no ģeogrāfiskiem līdz astronomiskiem, ir uzticēts Babilonijas civilizācijai.

Sākotnēji platība tika izmantota tikai zemes mērīšanai. Tie tika sadalīti vienāda izmēra kvadrātos, kas vienkāršoja aramzemju un ganību uzskaiti. Pēc tam raksturlielums tika izmantots arhitektūrā un pilsētplānošanā.

Ja Babilonijā jēdziens "apgabals" bija nesaraujami saistīts ar kvadrātu (vēlāk - taisnstūri), tad senie ēģiptieši izvērsa babiloniešu mācību un attiecināja to uz citām, sarežģītākām figūrām. Tātad Senajā Ēģiptē viņi zināja, kā noteikt paralogrammu, trijstūri un trapecveida laukumu. Turklāt saskaņā ar tām pašām pamatformulām, kuras tiek izmantotas mūsdienās.

Piemēram, taisnstūra laukums tika aprēķināts kā tā garums reizināts tā platums, un trijstūra laukums tika aprēķināts kā puse no tā pamatnes reizināta tā augstums. Strādājot ar sarežģītākām figūrām (daudzskaldnis), tās vispirms tika sadalītas vienkāršās figūrās un pēc tam aprēķinātas, izmantojot pamatformulas, aizstājot izmērītās vērtības. Šo metodi joprojām izmanto ģeometrijā, neskatoties uz to, ka daudzskaldnim ir īpašas sarežģītas formulas.

Senā Grieķija un Indija

Zinātnieki iemācījās strādāt ar noapaļotām figūrām tikai III–II gadsimtā pirms mūsu ēras. Mēs runājam par sengrieķu pētniekiem Eiklidu un Arhimēdu, un jo īpaši par fundamentālo darbu "Sākums" (V un XII grāmata). Tajos Eiklīds zinātniski pierādīja, ka apļu laukumi ir saistīti viens ar otru kā to diametru kvadrāti. Viņš arī izstrādāja metodi laukumu secības konstruēšanai, kas, augot, pakāpeniski "izsmeļ" vēlamo laukumu.

Savukārt Arhimēds pirmo reizi vēsturē aprēķināja parabolas segmenta laukumu un izvirzīja novatoriskas idejas savā zinātniskajā darbā par spirāļu pagriezienu aprēķināšanu. Tieši viņam pieder fundamentālais atklājums par ierakstītiem un ierobežotiem apļiem, kuru rādiusus var izmantot, lai ar augstu precizitāti aprēķinātu daudzu ģeometrisku formu laukumus.

Indiešu zinātnieki, mācījušies no senajiem ēģiptiešiem un grieķiem, turpināja pētījumus agrīnajos viduslaikos. Tātad slavenais astronoms un matemātiķis Brahmagupta mūsu ēras 7. gadsimtā ieviesa tādu jēdzienu kā “pusperimetrs” (apzīmēts kā p), un, izmantojot to, izstrādāja jaunas formulas plakano četrstūru aprēķināšanai, kas ierakstīti apļos. Bet visas formulas "Metrikā" un citos zinātniskos darbos tika uzrādītas nevis teksta, bet grafiskā veidā: kā diagrammas un zīmējumi, un savu galīgo formu ieguva daudz vēlāk - tikai 17. gadsimtā, Eiropā.

Eiropa

Tad, 1604. gadā, Eiklida atklāto izsmelšanas metodi vispārināja itāļu zinātnieks Luka Valerio. Viņš pierādīja, ka atšķirību starp ierakstītas un ierobežotas figūras laukumiem var padarīt mazāku par jebkuru noteiktu laukumu, ja tos veido paralelogrami. Un vācu zinātnieks Johanness Keplers (Johannes Keplers) vispirms aprēķināja elipses laukumu, kas viņam bija nepieciešams astronomiskajiem pētījumiem. Metodes būtība bija sadalīt elipsi daudzās līnijās ar 1 grāda soli.

19.-20. gadsimtā plakano figūru laukumu pētījumi bija praktiski izsmelti un pasniegti tādā formā, kādā tās pastāv joprojām. Tikai Hermaņa Minkovska atklājums, kurš ierosināja plakanām figūrām izmantot “apvalkojošo slāni”, kuru ar biezumu, kas tiecas uz nulli, var uzskatīt par novatorisku, ļauj ar augstu precizitāti noteikt vēlamo virsmas laukumu. Bet šī metode darbojas tikai tad, ja tiek ievērota aditivitāte, un to nevar uzskatīt par universālu.

Kā aprēķināt laukumu (laukuma aprēķina formulas)

Senie ēģiptieši prata aprēķināt vienkāršu ģeometrisku formu laukumus, un civilizācijām attīstoties, parādījās arvien jaunas aprēķinu formulas.

Piemēram, šodien parastam trīsstūrim ir 7 formulas laukuma aprēķināšanai, no kurām katra ir pareiza, ja mainīgo vietā tiek aizstātas skaitliskās vērtības. To pašu var teikt par lielāko daļu citu formu: apli, kvadrātu, trapeci, paralelogramu, rombu.

Trīsstūris

Jums jāsāk ar trīsstūri — pamata ģeometrisko figūru, uz kuras ir veidota visa mūsdienu trigonometrija. Parasta (netaisnstūra) trīsstūra laukuma aprēķināšanai ir 4 pamatformulas:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Šajās formulās a, b un c ir trijstūra malu garumi, h ir tā augstums, r ir ierakstītā apļa rādiuss, R ir ierobežotā apļa rādiuss un p ir pus -perimetrs, kas vienāds ar - (a + b + c) / 2. Izmantojot trigonometriju, varat noteikt trīsstūra laukumu, izmantojot vēl trīs formulas:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Attiecīgi α, β un γ ir leņķi starp blakus esošajām malām. Izmantojot šīs formulas, varat aprēķināt jebkura trīsstūra laukumu, ieskaitot taisnleņķa un vienādmalu trīsstūri.

Ja trīsstūris ir taisnleņķa trijstūris, tā laukumu var atrast arī no hipotenūzas un augstuma, no hipotenūzas un akūtā leņķa, no kājas un asā leņķa, kā arī no ierakstītā apļa un hipotenūzas rādiusa.

Kvadrāts un taisnstūris

Cita vienkārša ģeometriska figūra ir kvadrāts, kura laukumu var aprēķināt, zinot sejas vai diagonāles garumu. Aprēķinu formulas izskatās šādi:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Attiecīgi a ir sejas garums, bet d ir diagonāles garums. Kas attiecas uz taisnstūri, tad tam ir iespējama tikai viena kvadrāta aprēķināšanas iespēja: pēc formulas S = a ⋅ b, kur a un b ir malu garumi.

Paralelogramma

Paralelogrammā visi leņķi atšķiras no 90 grādiem, bet, sapārojot kopā, katrā pusē tiek iegūti 180 grādi. Tas ir, divi pretēji leņķi vienmēr ir asi, bet pārējie divi ir neasi. Ņemot vērā šīs pazīmes, ir 3 formulas paralelograma laukuma aprēķināšanai:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Attiecīgi a un b ir paralelograma malu garumi, h ir tā augstums, d1 un d2 ir diagonāļu garumi, α ir leņķis starp malām un γ ir leņķis starp diagonālēm. Atkarībā no tā, kura no šīm vērtībām ir zināma, varat ātri noteikt vajadzīgo apgabalu, aizstājot tos mainīgo vietā.

Aplis

Parastam aplim, aprēķinot laukumu, ir nozīme tikai rādiusam un diametram — neņemot vērā apkārtmēru. Aprēķini tiek veikti pēc formulām:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Attiecīgi π ir konstante (vienāds ar 3,14...), r ir apļa rādiuss un d ir tā diametrs.

četrstūris

Izliekta četrstūra kvadrātu var aprēķināt, zinot tā diagonāļu garumu un leņķus starp tām, malu garumus un leņķus starp tām, kā arī ierakstīto un ierobežoto apļu rādiusus. Attiecīgi var izmantot vienu no četrām formulām:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Šajās formulās d1 un d2 ir četrstūra diagonāļu garumi, r ir ierakstītā riņķa rādiuss, p ir pusperimetrs, α ir leņķis starp diagonālēm un θ ir pusperiments. divu pretējo leņķu summa jeb (α + β) / 2.

Dimants

Lai aprēķinātu šīs vienkāršās ģeometriskās figūras laukumu, tiek izmantotas 3 formulas, kurās mainīgie ir augstums, sānu garumi, leņķi un diagonāles. Lai aprēķinātu, varat izmantot vienu no trim vienādojumiem:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Tajos a ir romba malas garums, h ir līdz tai nolaistā augstuma garums, α ir leņķis starp abām malām, un d1 un d2 ir diagonāļu garumi.

Trapece

Var noteikt trapeces kvadrātu ar divām paralēlām malām, zinot tās augstumu un pusi no pamatu summas, kā arī izmantojot malu garumus – pēc Herona formulas:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Šajās izteiksmēs a un b ir trapeces pamatu garumi, c un d ir sānu malu garumi, h ir augstums un p ir pusperimetrs, kas vienāds ar (a + b + c + d) / 2.

Lielāko daļu no uzskaitītajām formulām ir viegli aprēķināt uz papīra vai kalkulatora, taču mūsdienās vienkāršākā iespēja ir uz pārlūkprogrammu balstīta tiešsaistes lietojumprogramma, kurā visi mainīgie jau ir norādīti, un atliek tikai pievienot zināmos. numurus uz to tukšajiem laukiem.

Laukuma kalkulators

Citi rīki