Ploto skaičiuotuvas

Kasdieniame gyvenime dažnai susiduriame su tokia savybe kaip sritis. Pavyzdžiui - stalo plotas, sienos, butas, sklypas, šalis, žemynas. Tai taikoma tik plokštiems ir sąlyginai plokštiems paviršiams, kuriuos galima apibrėžti pagal ilgį / plotį, spindulį / skersmenį, įstrižaines, aukščius ir kampus.

Tam yra skirta visa geometrijos dalis, tiriant plokštumos figūras: kvadratus, stačiakampius, trapecijas, rombus, apskritimus, elipses, trikampius – planimetriją.

Istorinis fonas

Archeologiniai tyrimai rodo, kad senovės babiloniečiai galėjo išmatuoti paviršiaus plotą prieš 4–5 tūkstančius metų. Būtent Babilonijos civilizacija buvo pripažinta atradusi ir įgyvendinusi šią matematinę charakteristiką, pagal kurią vėliau buvo atlikti sudėtingiausi skaičiavimai: nuo geografinių iki astronominių.

Iš pradžių plotas buvo naudojamas tik žemei matuoti. Jie buvo suskirstyti į vienodo dydžio kvadratus – tai supaprastino pasėlių ir ganyklų apskaitą. Vėliau charakteristika buvo naudojama architektūroje ir miestų planavime.

Jei Babilone sąvoka „sritis“ buvo neatsiejamai susijusi su kvadratu (vėliau – stačiakampiu), tai senovės egiptiečiai išplėtė babiloniečių mokymą ir pritaikė jį kitoms, sudėtingesnėms figūroms. Taigi senovės Egipte jie žinojo, kaip nustatyti lygiagrečių, trikampių ir trapecijų plotus. Be to, pagal tas pačias pagrindines formules, kurios naudojamos šiandien.

Pavyzdžiui, stačiakampio plotas buvo apskaičiuotas kaip jo ilgis ir plotis, o trikampio plotas buvo apskaičiuotas kaip pusė pagrindo padauginus jo aukštį. Dirbant su sudėtingesnėmis figūromis (daugiakampėmis), jos pirmiausia buvo suskirstytos į paprastas figūras, o vėliau apskaičiuojamos naudojant pagrindines formules, pakeičiant išmatuotas reikšmes. Šis metodas vis dar naudojamas geometrijoje, nepaisant specialių sudėtingų daugiakampių formulių.

Senovės Graikija ir Indija

Mokslininkai išmoko dirbti su apvaliomis figūromis tik III–II amžiuje prieš Kristų. Kalbame apie senovės graikų tyrinėtojus Euklidą ir Archimedą, o ypač apie fundamentinį veikalą „Pradžia“ (V ir XII knygos). Juose Euklidas moksliškai įrodė, kad apskritimų plotai yra susiję vienas su kitu kaip jų skersmens kvadratai. Jis taip pat sukūrė metodą, kaip sudaryti sričių seką, kuri, augdama, palaipsniui „išeikvoja“ norimą plotą.

Savo ruožtu Archimedas pirmą kartą istorijoje apskaičiavo parabolės atkarpos plotą ir savo moksliniame darbe, skaičiuodamas spiralių posūkius, pateikė novatoriškų idėjų. Jam priklauso esminis įbrėžtinių ir apibrėžtųjų apskritimų atradimas, kurio spinduliais galima labai tiksliai apskaičiuoti daugelio geometrinių formų plotus.

Indų mokslininkai, pasimokę iš senovės egiptiečių ir graikų, tęsė tyrimus ankstyvaisiais viduramžiais. Taigi, žinomas astronomas ir matematikas Brahmagupta VII amžiuje po Kristaus įvedė tokią sąvoką kaip „pusperimetras“ (žymimas p), ir naudodamas ją sukūrė naujas formules plokščių keturkampių, įrašytų į apskritimus, skaičiavimui. Bet visos formulės „Metrikoje“ ir kituose mokslo darbuose buvo pateiktos ne tekstu, o grafine forma: kaip diagramos ir brėžiniai, o galutinę formą gavo daug vėliau – tik XVII amžiuje, Europoje.

Europa

Tada, 1604 m., Euklido atrastą išsekimo metodą apibendrino italų mokslininkas Luca Valerio. Jis įrodė, kad skirtumas tarp įrašytos ir apibrėžtos figūros plotų gali būti mažesnis už bet kurį nurodytą plotą, jei jie sudaryti iš lygiagrečių. O vokiečių mokslininkas Johannesas Kepleris (Johannesas Kepleris) pirmiausia apskaičiavo elipsės plotą, kurio jam reikėjo astronominiams tyrimams. Metodo esmė buvo išskaidyti elipsę į daugybę linijų 1 laipsnio žingsniu.

XIX–XX a. plokščių figūrų plotų tyrimai buvo praktiškai išsemti ir pateikti tokia forma, kokia jos tebeegzistuoja. Tik Hermano Minkowskio atradimas, pasiūlęs plokščioms figūroms naudoti „apgaubiantį sluoksnį“, kurio storis linkęs į nulį, gali būti laikomas naujovišku, leidžia labai tiksliai nustatyti norimą paviršiaus plotą. Tačiau šis metodas veikia tik tuo atveju, jei laikomasi adityvumo, ir negali būti laikomas universaliu.

Kaip apskaičiuoti plotą (ploto formulės)

Senovės egiptiečiai mokėjo skaičiuoti paprastų geometrinių formų plotus, o vystantis civilizacijoms atsirado vis daugiau naujų skaičiavimo formulių.

Pavyzdžiui, šiandien įprastam trikampiui yra 7 ploto skaičiavimo formulės, kurių kiekviena yra teisinga, kai vietoj kintamųjų pakeičiamos skaitinės reikšmės. Tą patį galima pasakyti apie daugumą kitų formų: apskritimo, kvadrato, trapecijos, lygiagretainio, rombo.

Trikampis

Pradėti reikėtų nuo trikampio – pagrindinės geometrinės figūros, ant kurios pastatyta visa šiuolaikinė trigonometrija. Yra 4 pagrindinės formulės paprasto (ne stačiakampio) trikampio plotui apskaičiuoti:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ val.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Šiose formulėse a, b ir c yra trikampio kraštinių ilgiai, h yra jo aukštis, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, R yra apibrėžto apskritimo spindulys, o p yra pusiau -perimetras lygus - (a + b + c) / 2. Naudodami trigonometriją, galite nustatyti trikampio plotą naudodami dar tris formules:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Atitinkamai, α, β ir γ yra kampai tarp gretimų kraštinių. Naudodami šias formules galite apskaičiuoti bet kurio trikampio plotą, įskaitant stačiakampį ir lygiakraštį.

Jei trikampis yra stačiakampis, jo plotą taip pat galima rasti iš hipotenuzės ir aukščio, iš hipotenuzės ir smailiojo kampo, iš kojos ir smailiojo kampo, taip pat iš įbrėžto apskritimo ir hipotenuzės spindulio.

Kvadratas ir stačiakampis

Kita paprasta geometrinė figūra yra kvadratas, kurio plotą galima apskaičiuoti žinant veido arba įstrižainės ilgį. Skaičiavimų formulės atrodo taip:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Atitinkamai a yra veido ilgis, o d yra įstrižainės ilgis. Kalbant apie stačiakampį, jam galimas tik vienas kvadratūros skaičiavimo variantas: pagal formulę S = a ⋅ b, kur a ir b yra kraštinių ilgiai.

Lygiagretainė

Lygiagretainio visi kampai skiriasi nuo 90 laipsnių, bet suporuoti kartu sudaro 180 laipsnių iš abiejų pusių. Tai yra, du priešingi kampai visada yra smailūs, o kiti du yra buki. Atsižvelgiant į šias savybes, yra 3 formulės lygiagretainio plotui apskaičiuoti:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Atitinkamai, a ir b yra lygiagretainio kraštinių ilgiai, h yra jo aukštis, d1 ir d2 yra įstrižainių ilgiai, α yra kampas tarp kraštinių, o γ yra kampas tarp įstrižainių. Priklausomai nuo to, kuri iš šių reikšmių yra žinoma, galite greitai nustatyti reikiamą sritį, pakeisdami jas vietoje kintamųjų.

Ratas

Taisyklingam apskritimui skaičiuojant plotą turi reikšmės tik spindulys ir skersmuo – neatsižvelgiant į apskritimą. Skaičiavimai atliekami pagal formules:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Atitinkamai, π yra konstanta (lygi 3,14...), r yra apskritimo spindulys, o d yra jo skersmuo.

Keturkampis

Galite apskaičiuoti išgaubto keturkampio kvadratą, žinodami jo įstrižainių ilgį ir kampus tarp jų, kraštinių ilgius ir kampus tarp jų, taip pat įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulius. Atitinkamai gali būti taikoma viena iš keturių formulių:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Šiose formulėse d1 ir d2 yra keturkampio įstrižainių ilgiai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, p yra pusė perimetro, α yra kampas tarp įstrižainių ir θ yra pusė įstrižainių. dviejų priešingų kampų suma arba (α + β) / 2.

Deimantas

Šios paprastos geometrinės figūros plotui apskaičiuoti naudojamos 3 formulės, kurių kintamieji yra aukštis, kraštinių ilgiai, kampai ir įstrižainės. Norėdami apskaičiuoti, galite taikyti vieną iš trijų lygčių:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Juose a yra rombo kraštinės ilgis, h yra iki jo nuleistos aukščio ilgis, α yra kampas tarp dviejų kraštinių, o d1 ir d2 yra įstrižainių ilgiai.

Trapecija

Galite nustatyti trapecijos kvadratą su dviem lygiagrečiomis kraštinėmis, žinodami jos aukštį ir pusę pagrindų sumos, taip pat naudodami kraštinių ilgius – pagal Herono formulę:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ val.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Šiose išraiškose a ir b yra trapecijos pagrindų ilgiai, c ir d yra šoninių paviršių ilgiai, h yra aukštis, o p yra pusiau perimetras, lygus (a + b + c + d) / 2.

Daugelį išvardytų formulių nesunku apskaičiuoti ant popieriaus lapo ar skaičiuotuvo, tačiau šiandien paprasčiausias variantas yra naršyklės pagrindu sukurta internetinė programa, kurioje visi kintamieji jau nurodyti, o belieka pridėti žinomus numerius į tuščius laukus.

Ploto skaičiuotuvas

Kiti įrankiai