면적 계산기

일상 생활에서 우리는 종종 면적과 같은 특성을 접하게 됩니다. 예를 들어 - 테이블, 벽, 아파트, 줄거리, 국가, 대륙의 면적. 길이/너비, 반지름/직경, 대각선, 높이 및 각도로 정의할 수 있는 평평하고 조건부로 평평한 표면에만 적용됩니다.

정사각형, 직사각형, 사다리꼴, 마름모꼴, 원, 타원, 삼각형 - 면적 측정법과 같은 평면 도형을 연구하는 기하학의 전체 섹션이 이것에 할애됩니다.

역사적 배경

고고학 연구에 따르면 고대 바빌로니아인들은 4~5천년 전에 표면적을 측정할 수 있었습니다. 이 수학적 특성을 발견하고 구현한 것은 바빌로니아 문명이며, 이후 지리학에서 천문학에 이르기까지 가장 복잡한 계산이 이루어졌습니다.

처음에 면적은 토지 측정에만 사용되었습니다. 그것들은 같은 크기의 사각형으로 나뉘어 경작지와 목초지의 회계를 단순화했습니다. 이후 이 특성은 건축과 도시 계획에 사용되었습니다.

바빌론에서 "면적"의 개념이 정사각형(나중에 직사각형)과 불가분의 관계로 연결되어 있다면 고대 이집트인들은 바빌론의 가르침을 확장하여 더 복잡한 다른 수치에 적용했습니다. 그래서 고대 이집트에서는 평행 사변형, 삼각형 및 사다리꼴의 영역을 결정하는 방법을 알고있었습니다. 또한 오늘날 사용되는 것과 동일한 기본 공식에 따릅니다.

예를 들어 직사각형의 넓이는 길이와 너비의 곱으로 계산되었고 삼각형의 넓이는 밑변의 절반과 높이의 곱으로 계산되었습니다. 보다 복잡한 도형(다면체)을 작업할 때 먼저 간단한 도형으로 분해한 다음 기본 공식을 사용하여 계산하여 측정값을 대체했습니다. 이 방법은 다면체에 대한 특별한 복잡한 공식이 있음에도 불구하고 기하학에서 여전히 사용됩니다.

고대 그리스와 인도

과학자들은 기원전 III-II 세기에만 둥근 모양으로 작업하는 법을 배웠습니다. 우리는 고대 그리스 연구원 Euclid와 Archimedes, 특히 "Beginnings"(V 및 XII 책)의 기본 작업에 대해 이야기하고 있습니다. 그것들에서 Euclid는 원의 면적이 지름의 제곱으로 서로 관련되어 있음을 과학적으로 증명했습니다. 그는 또한 영역이 커짐에 따라 점차적으로 원하는 영역을 "고갈"하는 일련의 영역을 구성하는 방법을 개발했습니다.

아르키메데스는 역사상 처음으로 포물선의 한 부분의 면적을 계산했고, 나선의 회전을 계산하는 과학적 작업에서 혁신적인 아이디어를 제시했습니다. 내접원과 외접원의 근본적인 발견은 그에게 속하며, 그 반경은 높은 정확도로 많은 기하학적 모양의 면적을 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

고대 이집트인과 그리스인에게서 배운 인도 과학자들은 중세 초기에 연구를 계속했습니다. 그래서 서기 7세기에 유명한 천문학자이자 수학자인 브라마굽타는 "semiperimeter"(p로 표시)와 같은 개념을 도입했고 이를 사용하여 원에 새겨진 평평한 사각형을 계산하기 위한 새로운 공식을 개발했습니다. 그러나 모든 공식은 "미터법" 및 기타 과학 저작물에 텍스트가 아닌 그래픽 형식으로 표시되었습니다. 다이어그램과 그림으로 훨씬 나중에 유럽에서 17 세기에만 최종 형식을 받았습니다.

유럽

그 후 1604년 유클리드가 발견한 소진 방법은 이탈리아 과학자 루카 발레리오에 의해 일반화되었습니다. 그는 내접도형과 외접도형의 면적 차이가 평행사변형으로 구성되어 있다면 주어진 면적보다 더 작게 만들 수 있음을 증명했습니다. 그리고 독일의 과학자 요하네스 케플러(Johannes Kepler)는 천문학 연구에 필요한 타원의 면적을 먼저 계산했다. 방법의 핵심은 타원을 1도 간격으로 여러 선으로 분해하는 것이었습니다.

19-20세기에 이르러 평면도형의 영역에 대한 연구는 사실상 고갈되어 여전히 존재하는 형태로 제시되고 있다. 두께가 0에 가까운 혁신적인 것으로 간주될 수 있는 평평한 그림에 "봉투 레이어"를 사용하도록 제안한 Herman Minkowski의 발견만이 높은 정확도로 원하는 표면적을 결정할 수 있게 합니다. 그러나 이 방법은 가산성이 관찰되는 경우에만 작동하며 보편적인 것으로 간주할 수 없습니다.

고대 이집트인들은 단순한 기하학적 도형의 넓이를 계산하는 방법을 알고 있었고 문명이 발전함에 따라 점점 더 새로운 계산 공식이 나타났습니다.

예를 들어 오늘날 일반 삼각형의 경우 면적을 계산하기 위한 7개의 공식이 있으며 각 공식은 변수 대신 숫자 값을 대체할 때 정확합니다. 원, 정사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모 등 대부분의 다른 모양에 대해서도 마찬가지입니다.

삼각형

삼각형으로 시작해야 합니다. 모든 현대 삼각법의 기초가 되는 기본 도형입니다. 일반(직사각형이 아닌) 삼각형의 면적을 계산하는 4가지 기본 공식이 있습니다.

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a·b·c) / 4R.
S = p ⋅ r.

이 공식에서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이, h는 높이, r은 내접원의 반지름, R은 외접원의 반지름, p는 반 -둘레는 - (a + b + c) / 2와 같습니다. 삼각법을 사용하면 세 가지 공식을 더 사용하여 삼각형의 면적을 결정할 수 있습니다.

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

따라서 α, β, γ는 인접한 변 사이의 각도입니다. 이 공식을 사용하여 직각 및 정삼각형을 포함하여 모든 삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다.

삼각형이 직각삼각형이라면 빗변과 높이, 빗변과 예각, 다리와 예각, 그리고 내접원과 빗변의 반지름으로도 넓이를 구할 수 있습니다.

정사각형 및 직사각형

또 다른 단순한 기하학적 도형은 정사각형으로, 면이나 대각선의 길이를 알면 면적을 계산할 수 있습니다. 계산 공식은 다음과 같습니다.

S = a².
<리>S = (1/2) ⋅ d².

따라서 a는 얼굴의 길이이고 d는 대각선의 길이입니다. 직사각형의 경우 구적법을 계산하는 옵션은 S = a ⋅ b 공식에 따라 한 가지만 가능합니다. 여기서 a와 b는 변의 길이입니다.

평행사변형

평행사변형에서 모든 각도는 90도와 다르지만 함께 쌍을 이루면 각 변이 180도가 됩니다. 즉, 대향하는 두 각은 항상 예각이고 다른 두 각은 둔각입니다. 이러한 기능이 주어지면 평행사변형의 면적을 계산하는 3가지 공식이 있습니다.

S = ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

따라서 a와 b는 평행사변형의 변의 길이, h는 높이, d1과 d2는 대각선의 길이, α는 변 사이의 각도, γ는 대각선 사이의 각도입니다. 이러한 값 중 어떤 값을 알고 있는지에 따라 변수 대신 이를 대체하여 필요한 면적을 빠르게 결정할 수 있습니다.

서클

일반 원의 경우 둘레를 고려하지 않고 면적을 계산할 때 반지름과 지름만 중요합니다. 계산은 다음 공식에 따라 수행됩니다.

<리>S = π ⋅ r². <리>S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

따라서 π는 상수(3.14와 같음...), r은 원의 반지름, d는 지름입니다.

사각형

볼록 사변형의 대각선 길이와 그 사이의 각도, 변의 길이와 그 사이의 각도, 내접원과 외접원의 반지름을 알면 구적법을 계산할 수 있습니다. 따라서 다음 네 가지 공식 중 하나를 적용할 수 있습니다.

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
<리>S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) ⋅ (p - d)).

이 공식에서 d1과 d2는 사각형의 대각선 길이, r은 내접원의 반지름, p는 반원, α는 대각선 사이의 각도, θ는 마주보는 두 각도의 합, 또는 (α + β) / 2.

다이아몬드

이 간단한 기하학적 도형의 면적을 계산하기 위해 높이, 변의 길이, 각도 및 대각선의 변수인 3가지 공식이 사용됩니다. 계산하려면 다음 세 방정식 중 하나를 적용할 수 있습니다.

S = ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

여기서 a는 마름모의 한 변의 길이, h는 마름모의 높이를 낮춘 길이, α는 두 변 사이의 각도, d1과 d2는 대각선의 길이입니다.

사다리꼴

두 개의 평행한 변이 있는 사다리꼴의 구적법은 사다리꼴의 높이와 밑변의 합의 절반, 그리고 변의 길이를 사용하여 Heron의 공식에 따라 결정할 수 있습니다.

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a - b|) · √((p - a) · (p - b) · (p - a - c) · (p - a - d)).

이 식에서 a와 b는 사다리꼴 밑변의 길이, c와 d는 옆면의 길이, h는 높이, p는 (a + b + c + d) / 2.

나열된 공식의 대부분은 종이나 계산기로 쉽게 계산할 수 있지만 오늘날 가장 쉬운 옵션은 모든 변수가 이미 지정되어 있는 브라우저 기반 온라인 애플리케이션이며 남은 것은 알려진 값을 추가하는 것입니다. 빈 필드에 숫자를 입력합니다.

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