სივრცის კალკულატორი

დაამატეთ ვებგვერდზე მეტაინფორმაცია

სივრცის კალკულატორი

სივრცის კალკულატორი

ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით ისეთ მახასიათებელს, როგორიცაა ფართობი. მაგალითად - მაგიდის, კედლების, ბინის, ნაკვეთის, ქვეყნის, კონტინენტის ფართობი. ეს ეხება მხოლოდ ბრტყელ და პირობითად ბრტყელ ზედაპირებს, რომლებიც შეიძლება განისაზღვროს სიგრძით/სიგანით, რადიუსით/დიამეტრით, დიაგონალებით, სიმაღლეებითა და კუთხეებით.

ამას ეთმობა გეომეტრიის მთელი მონაკვეთი, რომელიც სწავლობს სიბრტყე ფიგურებს: კვადრატებს, ოთხკუთხედებს, ტრაპეციას, რომბებს, წრეებს, ელიფსებს, სამკუთხედებს - პლანიმეტრია.

ისტორიული ფონი

არქეოლოგიურმა კვლევებმა აჩვენა, რომ ძველ ბაბილონელებს შეეძლოთ ზედაპირის ფართობის გაზომვა 4-5 ათასი წლის წინ. სწორედ ბაბილონის ცივილიზაციას მიეწერება ამ მათემატიკური მახასიათებლის აღმოჩენა და განხორციელება, რომელზედაც შემდგომ აშენდა ყველაზე რთული გამოთვლები: გეოგრაფიულიდან ასტრონომიამდე.

თავდაპირველად ფართობი მხოლოდ მიწის გასაზომად გამოიყენებოდა. ისინი დაყოფილი იყო იმავე ზომის კვადრატებად, რაც ამარტივებს სასოფლო-სამეურნეო მიწებისა და საძოვრების აღრიცხვას. შემდგომში ეს მახასიათებელი გამოიყენებოდა არქიტექტურასა და ქალაქგეგმარებაში.

თუ ბაბილონში „ტერიტორიის“ ცნება განუყოფლად იყო დაკავშირებული კვადრატთან (მოგვიანებით - ოთხკუთხედთან), მაშინ ძველმა ეგვიპტელებმა გააფართოვეს ბაბილონის სწავლება და გამოიყენეს იგი სხვა, უფრო რთულ ფიგურებზე. ასე რომ, ძველ ეგვიპტეში მათ იცოდნენ როგორ განესაზღვრათ პარალელოგრამების, სამკუთხედების და ტრაპეციის ფართობი. უფრო მეტიც, იგივე ძირითადი ფორმულების მიხედვით, რომლებიც დღეს გამოიყენება.

მაგალითად, მართკუთხედის ფართობი გამოითვლებოდა, როგორც მისი სიგრძე გამრავლებული მის სიგანეზე, ხოლო სამკუთხედის ფართობი გამოითვლებოდა, როგორც მისი ფუძის ნახევარი მის სიმაღლეზე. უფრო რთულ ფორმებთან მუშაობისას (პოლიედრები), ისინი ჯერ იყოფა მარტივ ფორმებად, შემდეგ კი გამოითვალეს ძირითადი ფორმულების გამოყენებით, შეცვალეს გაზომილი მნიშვნელობები. ეს მეთოდი ჯერ კიდევ გამოიყენება გეომეტრიაში, მიუხედავად პოლიედრების სპეციალური რთული ფორმულების არსებობისა.

ძველი საბერძნეთი და ინდოეთი

მრგვალებულ ფიგურებთან მუშაობა მეცნიერებმა მხოლოდ ძვ.წ III-II საუკუნეებში ისწავლეს. საუბარია ძველ ბერძენ მკვლევარ ევკლიდესა და არქიმედესზე და კერძოდ ფუნდამენტურ ნაშრომზე „საწყისები“ (წიგნები V და XII). მათში ევკლიდემ მეცნიერულად დაამტკიცა, რომ წრეების ფართობები დაკავშირებულია ერთმანეთთან, როგორც მათი დიამეტრის კვადრატები. მან ასევე შეიმუშავა არეების თანმიმდევრობის აგების მეთოდი, რომელიც, როგორც იზრდება, თანდათან „ამოწურავს“ სასურველ ადგილს.

თავის მხრივ, არქიმედესმა პირველად ისტორიაში გამოთვალა პარაბოლის სეგმენტის ფართობი და წამოაყენა ინოვაციური იდეები თავის სამეცნიერო ნაშრომში სპირალების მობრუნების გამოთვლაზე. სწორედ მას ეკუთვნის წარწერიანი და შემოხაზული წრეების ფუნდამენტური აღმოჩენა, რომელთა რადიუსი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალი გეომეტრიული ფორმის ფართობის გამოსათვლელად დიდი სიზუსტით.

 

ინდოელმა მეცნიერებმა, რომლებმაც ისწავლეს ძველი ეგვიპტელებისა და ბერძნებისგან, განაგრძეს კვლევა ადრეულ შუა საუკუნეებში. ასე რომ, ცნობილმა ასტრონომმა და მათემატიკოსმა ბრაჰმაგუპტამ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე VII საუკუნეში შემოიტანა ისეთი კონცეფცია, როგორიცაა "ნახევრადპერიმეტრი" (აღნიშნულია როგორც p), და მისი გამოყენებით შეიმუშავა ახალი ფორმულები წრეებში ჩაწერილი ბრტყელი ოთხკუთხედების გამოსათვლელად. მაგრამ ყველა ფორმულა "მეტრულში" და სხვა სამეცნიერო ნაშრომებში იყო წარმოდგენილი არა ტექსტით, არამედ გრაფიკული ფორმით: დიაგრამებისა და ნახატების სახით და საბოლოო ფორმა მიიღო ბევრად უფრო გვიან - მხოლოდ მე -17 საუკუნეში, ევროპაში.

ევროპა

შემდეგ, 1604 წელს, ევკლიდეს მიერ აღმოჩენილი ამოწურვის მეთოდი განზოგადდა იტალიელმა მეცნიერმა ლუკა ვალერიომ. მან დაამტკიცა, რომ სხვაობა წარწერისა და შემოხაზული ფიგურის ფართობებს შორის შეიძლება იყოს უფრო მცირე, ვიდრე რომელიმე მოცემული ფართობი, იმ პირობით, რომ ისინი შედგებიან პარალელოგრამებისგან. და გერმანელმა მეცნიერმა იოჰანეს კეპლერმა (იოჰანეს კეპლერმა) პირველად გამოთვალა ელიფსის ფართობი, რომელიც მას სჭირდებოდა ასტრონომიული კვლევისთვის. მეთოდის არსი იყო ელიფსის მრავალ ხაზად დაშლა 1 გრადუსიანი ნაბიჯით.

მე-19-20 საუკუნეებისთვის ბრტყელი ფიგურების უბნების კვლევები პრაქტიკულად ამოწურული იყო და წარმოდგენილი იყო იმ სახით, როგორშიც ისინი ჯერ კიდევ არსებობს. მხოლოდ ჰერმან მინკოვსკის აღმოჩენამ, რომელმაც შესთავაზა ბრტყელი ფიგურებისთვის „გადაფარვის ფენის“ გამოყენება, რომელიც, სისქით ნულისკენ მიდრეკილი, შეიძლება ჩაითვალოს ინოვაციურად, შესაძლებელს ხდის სასურველი ზედაპირის ფართობის მაღალი სიზუსტით განსაზღვრას. მაგრამ ეს მეთოდი მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ შეინიშნება მატება და არ შეიძლება ჩაითვალოს უნივერსალურად.

ფართობის გამოთვლის წესი (ფართობის ფორმულები)

ფართობის გამოთვლის წესი (ფართობის ფორმულები)

ძველმა ეგვიპტელებმა იცოდნენ, როგორ გამოეთვალათ მარტივი გეომეტრიული ფორმების არეები და ცივილიზაციების განვითარებასთან ერთად, გამოთვლების უფრო და უფრო ახალი ფორმულები ჩნდებოდა.

მაგალითად, დღეს ჩვეულებრივი სამკუთხედისთვის არის 7 ფორმულა ფართობის გამოსათვლელად, რომელთაგან თითოეული სწორია ცვლადების ნაცვლად რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლებისას. იგივე შეიძლება ითქვას სხვა ფორმებზე: წრე, კვადრატი, ტრაპეცია, პარალელოგრამი, რომბი.

სამკუთხედი

თქვენ უნდა დაიწყოთ სამკუთხედით - ძირითადი გეომეტრიული ფიგურა, რომელზეც აგებულია მთელი თანამედროვე ტრიგონომეტრია. არსებობს 4 ძირითადი ფორმულა ჩვეულებრივი (არამართკუთხა) სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად:

  • S = (1/2) ⋅ a ⋅ სთ.
  • S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
  • S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
  • S = p ⋅ r.

ამ ფორმულებში a, b და c არის სამკუთხედის გვერდების სიგრძე, h არის მისი სიმაღლე, r არის შემოხაზული წრის რადიუსი, R არის შემოხაზული წრის რადიუსი და p არის ნახევრად. -პერიმეტრი ტოლია - (a + b + c) / 2. ტრიგონომეტრიის გამოყენებით შეგიძლიათ განსაზღვროთ სამკუთხედის ფართობი კიდევ სამი ფორმულის გამოყენებით:

  • S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
  • S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
  • S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

შესაბამისად, α, β და γ არის კუთხეები მიმდებარე გვერდებს შორის. ამ ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობი, მათ შორის მართკუთხა და ტოლგვერდა.

თუ სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია, მისი ფართობი ასევე შეიძლება მოიძებნოს ჰიპოტენუზადან და სიმაღლიდან, ჰიპოტენუზადან და მწვავე კუთხიდან, ფეხიდან და მახვილი კუთხიდან, აგრეთვე ჩაწერილი წრისა და ჰიპოტენუზის რადიუსიდან.

კვადრატი და მართკუთხედი

კიდევ ერთი მარტივი გეომეტრიული ფიგურა არის კვადრატი, რომლის ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია სახის ან დიაგონალის სიგრძის ცოდნით. გამოთვლების ფორმულები ასე გამოიყურება:

  • S = a².
  • S = (1/2) ⋅ d².

შესაბამისად, a არის სახის სიგრძე, ხოლო d არის დიაგონალის სიგრძე. რაც შეეხება მართკუთხედს, მისთვის კვადრატის გამოთვლის მხოლოდ ერთი ვარიანტია შესაძლებელი: S = a ⋅ b ფორმულის მიხედვით, სადაც a და b არის გვერდების სიგრძეები.

პარალელოგრამა

პარალელოგრამში ყველა კუთხე განსხვავდება 90 გრადუსისგან, მაგრამ ერთად დაწყვილებული იძლევა 180 გრადუსს თითოეულ მხარეს. ანუ ორი საპირისპირო კუთხე ყოველთვის მწვავეა, დანარჩენი ორი კი ბლაგვია. ამ მახასიათებლების გათვალისწინებით, არსებობს 3 ფორმულა პარალელოგრამის ფართობის გამოსათვლელად:

  • S = a ⋅ სთ.
  • S = a ⋅ b ⋅ sinα,
  • S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

შესაბამისად, a და b არის პარალელოგრამის გვერდების სიგრძე, h არის მისი სიმაღლე, d1 და d2 არის დიაგონალების სიგრძე, α არის კუთხე გვერდებს შორის და γ არის კუთხე დიაგონალებს შორის. იმისდა მიხედვით, თუ რომელი მნიშვნელობებია ცნობილი, შეგიძლიათ სწრაფად განსაზღვროთ საჭირო ფართობი ცვლადების ნაცვლად მათი ჩანაცვლებით.

წრე

რეგულარული წრისთვის, ფართობის გამოთვლისას მნიშვნელოვანია მხოლოდ რადიუსი და დიამეტრი - წრეწირის გათვალისწინების გარეშე. გამოთვლები ხორციელდება ფორმულების მიხედვით:

  • S = π ⋅ r².
  • S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

შესაბამისად, π არის მუდმივი (უდრის 3,14...), r არის წრის რადიუსი და d არის მისი დიამეტრი.

ოთხკუთხედი

შეგიძლიათ გამოთვალოთ ამოზნექილი ოთხკუთხედის კვადრატი მისი დიაგონალების სიგრძისა და მათ შორის კუთხეების, გვერდების და მათ შორის კუთხეების სიგრძის, აგრეთვე შემოხაზული და შემოხაზული წრეების რადიუსების გაცნობით. შესაბამისად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ოთხი ფორმულიდან ერთი:

  • S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
  • S = p ⋅ r.
  • S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
  • S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − გ) ⋅ (p − d)).

ამ ფორმულებში d1 და d2 არის ოთხკუთხედის დიაგონალების სიგრძე, r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი, p არის ნახევარპერიმეტრი, α არის კუთხე დიაგონალებს შორის და θ არის ნახევარი. ორი მოპირდაპირე კუთხის ჯამი, ან (α + β) / 2.

ბრილიანტი

ამ მარტივი გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენება 3 ფორმულა, რომლებშიც ცვლადებია სიმაღლე, გვერდის სიგრძე, კუთხეები და დიაგონალები. გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ სამი განტოლებიდან ერთი:

  • S = a ⋅ სთ.
  • S = a² ⋅ sinα.
  • S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

მათში a არის რომბის მხარის სიგრძე, h არის მასზე დაშვებული სიმაღლის სიგრძე, α არის კუთხე ორ მხარეს შორის და d1 და d2 არის დიაგონალების სიგრძე.

ტრაპეცია

შეგიძლიათ დაადგინოთ ტრაპეციის კვადრატი ორი პარალელური გვერდით, მისი სიმაღლისა და ფუძეების ჯამის ნახევარის ცოდნა, აგრეთვე გვერდების სიგრძის გამოყენებით - ჰერონის ფორმულის მიხედვით:

  • S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ სთ.
  • S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

ამ გამონათქვამებში a და b არის ტრაპეციის ფუძეების სიგრძე, c და d არის გვერდითი სახეების სიგრძე, h არის სიმაღლე და p არის ნახევარპერიმეტრი ტოლი (a + b + c + d) / 2.

ჩამოთვლილი ფორმულების უმეტესობის გამოთვლა მარტივია ფურცელზე ან კალკულატორზე, მაგრამ დღეს ყველაზე მარტივი ვარიანტია ბრაუზერზე დაფუძნებული ონლაინ აპლიკაცია, რომელშიც უკვე მითითებულია ყველა ცვლადი და რჩება მხოლოდ ცნობილის დამატება. ნომრები მათ ცარიელ ველებში.