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面積計算機

日常生活の中で、私たちはエリアのような特性によく遭遇します。たとえば、テーブル、壁、アパート、敷地、国、大陸の面積です。これは、長さ/幅、半径/直径、対角線、高さ、角度によって定義できる平面および条件付き平面にのみ適用されます。

幾何学のセクション全体がこれに当てられ、平面図形 (正方形、長方形、台形、ひし形、円、楕円、三角形 - 面積測定) を研究します。

歴史的背景

考古学研究によると、古代バビロニア人は 4 ～ 5,000 年前に表面積を測定することができました。この数学的特性の発見と実装はバビロニア文明であると考えられており、その後、地理的計算から天文学的計算に至るまで、最も複雑な計算がその計算に基づいて構築されました。

当初、面積は土地を測定するためにのみ使用されていました。それらは同じサイズの正方形に分割されており、これにより農地と牧草地の会計が簡素化されました。その後、その特性は建築や都市計画に使用されました。

バビロンにおいて「面積」の概念が正方形 (後には長方形) と密接に結びついていたとしたら、古代エジプト人はバビロニアの教えを拡張し、それを他のより複雑な図形に適用しました。したがって、古代エジプトでは、平行四辺形、三角形、台形の面積を決定する方法を知っていました。さらに、現在使用されているのと同じ基本的な公式に従っています。

たとえば、長方形の面積は長さの幅の積として計算され、三角形の面積は底辺の半分の高さの積として計算されます。より複雑な図形 (多面体) を扱う場合は、まず単純な図形に分解し、次に基本的な公式を使用して計算し、測定値を置き換えます。多面体用の特別で複雑な公式が存在するにもかかわらず、この方法は今でも幾何学で使用されています。

古代ギリシャとインド

科学者が丸みを帯びた図形を扱う方法を学んだのは、紀元前 III ～ II 世紀になってからです。私たちは古代ギリシャの研究者ユークリッドとアルキメデスについて、特に基礎的な著作「始まり」（第 5 巻と第 12 巻）について話しています。その中で、ユークリッドは円の面積が直径の二乗として互いに関係していることを科学的に証明しました。彼はまた、一連のエリアを構築する方法も開発しました。エリアが成長するにつれて、目的のエリアが徐々に「使い果たされる」ようになります。

次に、アルキメデスは歴史上初めて放物線の一部の面積を計算し、螺旋の回転を計算する科学的研究において革新的なアイデアを提唱しました。内接円と外接円の基本的な発見は彼のものであり、その半径を使用して多くの幾何学的形状の面積を高精度で計算できます。

インドの科学者は、古代エジプト人やギリシャ人から学び、中世初期にも研究を続けました。そこで、西暦 7 世紀の有名な天文学者で数学者であるブラフマグプタは、「半周長」（p で示される）などの概念を導入し、それを使用して、円に内接する平らな四角形を計算するための新しい公式を開発しました。しかし、すべての公式は、「メートル法」やその他の科学著作の中で文章ではなく、図や図面などのグラフィック形式で提示され、最終的な形式が得られたのはずっと後、17 世紀のヨーロッパでのみでした。

ヨーロッパ

その後、1604 年に、ユークリッドによって発見された消尽法がイタリアの科学者ルカヴァレリオによって一般化されました。彼は、内接図形と外接図形の面積の差は、それらが平行四辺形で構成されている場合、所定の面積よりも小さくできることを証明しました。そして、ドイツの科学者ヨハネス・ケプラー（ヨハネス・ケプラー）は、天文学の研究に必要な楕円の面積を最初に計算しました。この方法の本質は、楕円を 1 度刻みで多くの線に分解することでした。

19 世紀から 20 世紀の時点で、平面図形の領域に関する研究はほとんど研究され尽くしており、依然として存在する形で提示されています。ヘルマン・ミンコフスキーの発見のみが、平らな図形に「包み層」を使用することを提案しました。この層は、厚さがゼロに近づくため、革新的であると考えられますが、所望の表面積を高精度で決定することが可能になりました。ただし、この方法は相加性が観察される場合にのみ機能し、普遍的であるとは考えられません。

面積の求め方（面積の計算式）

古代エジプト人は、単純な幾何学的形状の面積を計算する方法を知っていました。文明が発展するにつれて、ますます新しい計算式が登場しました。

たとえば、今日では普通の三角形の面積を計算するための公式が 7 つあり、変数の代わりに数値を代入する場合、それぞれが正しいものになります。円、正方形、台形、平行四辺形、ひし形など、他のほとんどの図形についても同じことが言えます。

三角形

三角形から始める必要があります。三角形は、現代のすべての三角法が構築される基本的な幾何学的図形です。通常の (長方形ではない) 三角形の面積を計算するには、4 つの基本的な公式があります。

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h。
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c))。
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R。
S = p ⋅ r。

これらの式で、a、b、c は三角形の辺の長さ、h はその高さ、r は内接円の半径、R は外接円の半径、p は半三角形です。 -周囲は - (a + b + c) / 2 に等しい。三角法を使用すると、さらに 3 つの公式を使用して三角形の面積を求めることができます。

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ。
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β。
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α。

したがって、α、β、γ は隣接する辺間の角度です。これらの公式を使用すると、直角や正三角形を含む任意の三角形の面積を計算できます。

三角形が直角三角形の場合、その面積は、斜辺と高さ、斜辺と鋭角、脚と鋭角、および内接円と斜辺の半径からも求めることができます。

正方形と長方形

もう 1 つの単純な幾何学図形は正方形です。その面積は、面または対角線の長さを知ることで計算できます。計算式は次のようになります:

S = a²。
S = (1/2) ⋅ d²。

したがって、a は面の長さ、d は対角線の長さです。長方形に関しては、求積法を計算するためのオプションは 1 つだけです。式 S = a ⋅ b に従います。ここで、a と b は辺の長さです。

平行四辺形

平行四辺形では、すべての角度は 90 度とは異なりますが、組み合わせると各辺が 180 度になります。つまり、2 つの対向角は常に鋭角であり、他の 2 つは鈍角です。これらの特徴を考慮すると、平行四辺形の面積を計算するには 3 つの公式があります。

S = a ⋅ h。
S = a ⋅ b ⋅ sinα、
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ。

したがって、a と b は平行四辺形の辺の長さ、h はその高さ、d1 と d2 は対角線の長さ、α は辺間の角度、γ は対角線間の角度です。これらの値のどれが既知であるかに応じて、変数の代わりにそれらの値を代入することで、必要な領域を迅速に決定できます。

サークル

正円の場合、面積を計算する際には、円周は考慮せず、半径と直径のみが問題になります。計算は次の式に従って実行されます。

S = π ⋅ r²。
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d²。

したがって、π は定数 (3.14 に等しい)、r は円の半径、d はその直径です。

四角形

凸四角形の直交度は、対角線の長さと対角線の間の角度、辺の長さと対角線の間の角度、内接円と外接円の半径を知ることで計算できます。したがって、次の 4 つの公式のいずれかを適用できます。

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α。
S = p ⋅ r。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ)。
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d))。

これらの式で、d1 と d2 は四角形の対角線の長さ、r は内接円の半径、p は半周長、α は対角線の間の角度、θ は半周長です。 2 つの対角の合計、または (α + β) / 2。

ダイヤモンド

この単純な幾何学的図形の面積を計算するには、高さ、辺の長さ、角度、対角線を変数とする 3 つの公式が使用されます。計算するには、次の 3 つの方程式のいずれかを適用できます。

S = a ⋅ h。
S = a² ⋅ sinα。
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2。

これらの式において、a はひし形の辺の長さ、h はひし形まで下がった高さの長さ、α は 2 つの辺の間の角度、d1 と d2 は対角線の長さです。 p>

台形

平行な 2 つの辺を持つ台形の直交度は、ヘロンの公式に従って、その高さと底辺の合計の半分がわかり、辺の長さを使用して決定できます。

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h。
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d))。

これらの式で、a と b は台形の底辺の長さ、c と d は側面の長さ、h は高さ、p は (a + b + に等しい半周長) です。 c + d) / 2.

リストされている式のほとんどは、紙や電卓で簡単に計算できますが、現在最も簡単なオプションは、すべての変数がすでに指定されているブラウザベースのオンラインアプリケーションです。残りは既知の変数を追加するだけです。空のフィールドに数値を入力します。