Calcolatore di area

Nella vita di tutti i giorni, incontriamo spesso una caratteristica come l'area. Ad esempio: l'area del tavolo, delle pareti, dell'appartamento, della trama, del paese, del continente. Si applica solo a superfici piatte e condizionatamente piatte che possono essere definite da lunghezza/larghezza, raggio/diametro, diagonali, altezze e angoli.

A questo è dedicata un'intera sezione di geometria, studiando le figure piane: quadrati, rettangoli, trapezi, rombi, cerchi, ellissi, triangoli - planimetria.

Cenni storici

Gli studi archeologici indicano che gli antichi babilonesi erano in grado di misurare la superficie 4-5 mila anni fa. È alla civiltà babilonese che va il merito della scoperta e dell'attuazione di questa caratteristica matematica, sulla quale successivamente sono stati costruiti i calcoli più complessi: da quelli geografici a quelli astronomici.

Inizialmente, l'area veniva utilizzata solo per misurare la terra. Erano divisi in quadrati della stessa dimensione, il che semplificava la contabilità dei terreni coltivati e dei pascoli. Successivamente, la caratteristica è stata utilizzata in architettura e urbanistica.

Se in Babilonia il concetto di "area" era indissolubilmente legato a un quadrato (in seguito - un rettangolo), allora gli antichi egizi ampliarono l'insegnamento babilonese e lo applicarono ad altre figure più complesse. Quindi, nell'antico Egitto sapevano come determinare l'area di parallelogrammi, triangoli e trapezi. Inoltre, secondo le stesse formule di base che vengono utilizzate oggi.

Ad esempio, l'area di un rettangolo è stata calcolata come la sua lunghezza per la sua larghezza, e l'area di un triangolo è stata calcolata come metà della sua base per la sua altezza. Quando si lavorava con figure più complesse (poliedri), venivano prima scomposte in figure semplici, quindi calcolate utilizzando formule di base, sostituendo i valori misurati. Questo metodo è ancora utilizzato in geometria, nonostante la presenza di speciali formule complesse per i poliedri.

Antica Grecia e India

Gli scienziati hanno imparato a lavorare con figure arrotondate solo nel III-II secolo a.C. Stiamo parlando degli antichi ricercatori greci Euclide e Archimede, e in particolare dell'opera fondamentale "Inizi" (libri V e XII). In essi, Euclide dimostrò scientificamente che le aree dei cerchi sono correlate tra loro come i quadrati dei loro diametri. Ha anche sviluppato un metodo per costruire una sequenza di aree che, man mano che crescono, "esauriscono" gradualmente l'area desiderata.

A sua volta, Archimede calcolò per la prima volta nella storia l'area di un segmento di parabola e avanzò idee innovative nel suo lavoro scientifico sul calcolo dei giri delle spirali. È a lui che appartiene la scoperta fondamentale dei cerchi inscritti e circoscritti, i cui raggi possono essere utilizzati per calcolare con elevata precisione le aree di molte forme geometriche.

Gli scienziati indiani, avendo imparato dagli antichi egizi e greci, continuarono le loro ricerche durante l'alto medioevo. Quindi, il famoso astronomo e matematico Brahmagupta nel VII secolo d.C. introdusse un concetto come "semiperimetro" (indicato come p), e usandolo sviluppò nuove formule per calcolare i quadrangoli piatti inscritti nei cerchi. Ma tutte le formule sono state presentate nel "Metrico" e in altri lavori scientifici non come testo, ma in forma grafica: come diagrammi e disegni, e hanno ricevuto la loro forma finale molto più tardi - solo nel XVII secolo, in Europa.

Europa

Poi, nel 1604, il metodo dell'esaurimento scoperto da Euclide fu generalizzato dallo scienziato italiano Luca Valerio. Ha dimostrato che la differenza tra le aree di una figura inscritta e circoscritta può essere ridotta a qualsiasi area data, purché siano costituite da parallelogrammi. E lo scienziato tedesco Johannes Kepler (Johannes Kepler) calcolò per primo l'area dell'ellisse, di cui aveva bisogno per la ricerca astronomica. L'essenza del metodo era scomporre l'ellisse in molte linee con un passo di 1 grado.

A partire dai secoli XIX-XX, gli studi sulle aree delle figure piatte erano praticamente esauriti e presentati nella forma in cui esistono ancora. Solo la scoperta di Herman Minkowski, che ha proposto di utilizzare uno “strato avvolgente” per le figure piatte, che, con uno spessore tendente allo zero, può essere considerato innovativo, consente di determinare con elevata precisione la superficie desiderata. Ma questo metodo funziona solo se si osserva l'additività e non può essere considerato universale.

Come trovare l’area (formule dell’area)

Gli antichi egizi sapevano come calcolare le aree di forme geometriche semplici e, man mano che le civiltà si sviluppavano, apparvero sempre più nuove formule per i calcoli.

Ad esempio, oggi per un triangolo ordinario ci sono 7 formule per calcolare l'area, ognuna delle quali è corretta quando si sostituiscono valori numerici invece di variabili. Lo stesso si può dire della maggior parte delle altre forme: cerchio, quadrato, trapezio, parallelogramma, rombo.

Triangolo

Dovresti iniziare con un triangolo, la figura geometrica di base su cui è costruita tutta la trigonometria moderna. Esistono 4 formule di base per calcolare l'area di un triangolo ordinario (non rettangolare):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

In queste formule, a, b e c sono le lunghezze dei lati del triangolo, h è la sua altezza, r è il raggio del cerchio inscritto, R è il raggio del cerchio circoscritto e p è il semicerchio -perimetro uguale a - (a + b + c) / 2. Usando la trigonometria, puoi determinare l'area di un triangolo usando altre tre formule:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Di conseguenza, α, β e γ sono gli angoli tra lati adiacenti. Usando queste formule, puoi calcolare l'area di qualsiasi triangolo, compresi quelli ad angolo retto ed equilatero.

Se il triangolo è un triangolo rettangolo, la sua area si può ricavare anche dall'ipotenusa e dall'altezza, dall'ipotenusa e dall'angolo acuto, dalla gamba e dall'angolo acuto, e anche dal raggio del cerchio inscritto e dall'ipotenusa.

Quadrato e Rettangolo

Un'altra figura geometrica semplice è un quadrato, la cui area può essere calcolata conoscendo la lunghezza di una faccia o di una diagonale. Le formule per i calcoli hanno questo aspetto:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

Di conseguenza, a è la lunghezza della faccia e d è la lunghezza della diagonale. Per quanto riguarda il rettangolo, per esso è possibile solo un'opzione per il calcolo della quadratura: secondo la formula S = a ⋅ b, dove a e b sono le lunghezze dei lati.

Parallelogramma

In un parallelogramma, tutti gli angoli sono diversi da 90 gradi, ma accoppiati insieme danno 180 gradi su ciascun lato. Cioè, due angoli opposti sono sempre acuti e gli altri due sono ottusi. Date queste caratteristiche, esistono 3 formule per calcolare l'area di un parallelogramma:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

Di conseguenza, aeb sono le lunghezze dei lati del parallelogramma, h è la sua altezza, d1 e d2 sono le lunghezze delle diagonali, α è l'angolo tra i lati e γ è l'angolo tra le diagonali. A seconda di quali di questi valori sono noti, puoi determinare rapidamente l'area richiesta sostituendoli al posto delle variabili.

Cerchio

Per un cerchio regolare, solo il raggio e il diametro contano nel calcolo dell'area, senza tener conto della circonferenza. I calcoli vengono eseguiti secondo le formule:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Di conseguenza, π è una costante (uguale a 3,14...), r è il raggio del cerchio e d è il suo diametro.

Quadrilatero

Puoi calcolare la quadratura di un quadrilatero convesso conoscendo la lunghezza delle sue diagonali e gli angoli tra di esse, le lunghezze dei lati e gli angoli tra di esse, nonché i raggi dei cerchi inscritti e circoscritti. Di conseguenza, è possibile applicare una delle quattro formule:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

In queste formule, d1 e d2 sono le lunghezze delle diagonali del quadrangolo, r è il raggio del cerchio inscritto, p è il semiperimetro, α è l'angolo tra le diagonali e θ è il mezzo-perimetro somma di due angoli opposti, o (α + β) / 2.

Diamante

Per calcolare l'area di questa semplice figura geometrica si utilizzano 3 formule, in cui le variabili sono altezza, lati, angoli e diagonali. Per calcolare, puoi applicare una delle tre equazioni:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

In essi, a è la lunghezza del lato del rombo, h è la lunghezza dell'altezza ridotta ad esso, α è l'angolo tra i due lati, e d1 e d2 sono le lunghezze delle diagonali.

Trapezio

Puoi determinare la quadratura di un trapezio con due lati paralleli, conoscendo la sua altezza e metà della somma delle basi, nonché utilizzando le lunghezze dei lati - secondo la formula di Erone:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

In queste espressioni, a e b sono le lunghezze delle basi del trapezio, c e d sono le lunghezze delle facce laterali, h è l'altezza, e p è il semiperimetro pari a (a + b + c + d) / 2.

La maggior parte delle formule elencate è facile da calcolare su un pezzo di carta o su una calcolatrice, ma l'opzione più semplice oggi è un'applicazione online basata su browser in cui tutte le variabili sono già specificate e non resta che aggiungere note numeri nei loro campi vuoti.

Calcolatore di area

Altri strumenti