क्षेत्र कैलकुलेटर

दैनिक जीवन में, हम अक्सर क्षेत्र जैसी विशेषता का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए - टेबल का क्षेत्रफल, दीवारें, अपार्टमेंट, प्लॉट, देश, महाद्वीप। यह केवल सपाट और सशर्त रूप से सपाट सतहों पर लागू होता है जिन्हें लंबाई/चौड़ाई, त्रिज्या/व्यास, विकर्ण, ऊंचाई और कोण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

ज्यामिति का एक पूरा खंड इसके लिए समर्पित है, जिसमें समतल आकृतियों का अध्ययन किया जाता है: वर्ग, आयत, समलंब, समचतुर्भुज, वृत्त, दीर्घवृत्त, त्रिकोण - प्लैनिमेट्री।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

पुरातात्विक अध्ययनों से संकेत मिलता है कि प्राचीन बेबीलोनवासी 4-5 हजार साल पहले सतह क्षेत्र को मापने में सक्षम थे। यह बेबीलोनियाई सभ्यता है जिसे इस गणितीय विशेषता की खोज और कार्यान्वयन का श्रेय दिया जाता है, जिस पर बाद में सबसे जटिल गणनाएँ बनाई गईं: भौगोलिक से लेकर खगोलीय तक।

प्रारंभ में, क्षेत्र का उपयोग केवल भूमि मापने के लिए किया जाता था। उन्हें समान आकार के वर्गों में विभाजित किया गया, जिससे फसल भूमि और चरागाहों का लेखा-जोखा सरल हो गया। इसके बाद, इस विशेषता का उपयोग वास्तुकला और शहरी नियोजन में किया गया।

यदि बेबीलोन में "क्षेत्र" की अवधारणा एक वर्ग (बाद में - एक आयत) के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई थी, तो प्राचीन मिस्रियों ने बेबीलोनियन शिक्षण का विस्तार किया और इसे अन्य, अधिक जटिल आंकड़ों पर लागू किया। इसलिए, प्राचीन मिस्र में वे जानते थे कि समांतर चतुर्भुज, त्रिभुज और समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित किया जाए। इसके अलावा, उन्हीं मूल फ़ार्मुलों के अनुसार जो आज उपयोग किए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, एक आयत के क्षेत्रफल की गणना उसकी लंबाई गुणा उसकी चौड़ाई के रूप में की गई थी, और एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसके आधार के आधे गुणा उसकी ऊंचाई के रूप में की गई थी। अधिक जटिल आकृतियों (पॉलीहेड्रा) के साथ काम करते समय, उन्हें पहले सरल आकृतियों में तोड़ दिया गया, और फिर मापा मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, बुनियादी सूत्रों का उपयोग करके गणना की गई। पॉलीहेड्रा के लिए विशेष जटिल सूत्रों की उपस्थिति के बावजूद, इस पद्धति का उपयोग अभी भी ज्यामिति में किया जाता है।

प्राचीन ग्रीस और भारत

वैज्ञानिकों ने गोलाकार आकृतियों के साथ काम करना ईसा पूर्व तीसरी-दूसरी शताब्दी में ही सीखा था। हम प्राचीन यूनानी शोधकर्ताओं यूक्लिड और आर्किमिडीज़ के बारे में बात कर रहे हैं, और विशेष रूप से मौलिक कार्य "बिगिनिंग्स" (पुस्तकें V और XII) के बारे में। उनमें, यूक्लिड ने वैज्ञानिक रूप से सिद्ध किया कि वृत्तों के क्षेत्रफल उनके व्यास के वर्गों के समान एक दूसरे से संबंधित होते हैं। उन्होंने क्षेत्रों का एक क्रम बनाने की एक विधि भी विकसित की, जो बढ़ने के साथ-साथ वांछित क्षेत्र को धीरे-धीरे "खत्म" कर देती है।

बदले में, आर्किमिडीज़ ने इतिहास में पहली बार एक परवलय के एक खंड के क्षेत्र की गणना की, और सर्पिलों के घुमावों की गणना पर अपने वैज्ञानिक कार्य में नवीन विचारों को सामने रखा। अंकित और परिबद्ध वृत्तों की मौलिक खोज उन्हीं की है, जिनकी त्रिज्या का उपयोग उच्च सटीकता के साथ कई ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

प्राचीन मिस्रियों और यूनानियों से सीखकर भारतीय वैज्ञानिकों ने प्रारंभिक मध्य युग के दौरान अपना शोध जारी रखा। तो, 7वीं शताब्दी ईस्वी में प्रसिद्ध खगोलशास्त्री और गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने "अर्धपरिधि" (पी के रूप में चिह्नित) जैसी अवधारणा पेश की, और इसका उपयोग करके वृत्तों में अंकित समतल चतुर्भुजों की गणना के लिए नए सूत्र विकसित किए। लेकिन सभी सूत्र "मीट्रिक" और अन्य वैज्ञानिक कार्यों में पाठ में नहीं, बल्कि चित्रमय रूप में प्रस्तुत किए गए थे: आरेख और चित्र के रूप में, और उनका अंतिम रूप बहुत बाद में प्राप्त हुआ - केवल 17 वीं शताब्दी में, यूरोप में।

यूरोप

फिर, 1604 में, यूक्लिड द्वारा खोजी गई थकावट विधि को इतालवी वैज्ञानिक लुका वेलेरियो द्वारा सामान्यीकृत किया गया था। उन्होंने सिद्ध किया कि किसी उत्कीर्ण और अंकित आकृति के क्षेत्रफलों के बीच के अंतर को किसी दिए गए क्षेत्रफल से छोटा किया जा सकता है, बशर्ते वे समांतर चतुर्भुज से बने हों। और जर्मन वैज्ञानिक जोहान्स केप्लर (जोहान्स केप्लर) ने सबसे पहले दीर्घवृत्त के क्षेत्र की गणना की, जिसकी उन्हें खगोलीय अनुसंधान के लिए आवश्यकता थी। विधि का सार 1 डिग्री के चरण के साथ दीर्घवृत्त को कई रेखाओं में विघटित करना था।

19वीं-20वीं शताब्दी तक, सपाट आकृतियों के क्षेत्रों का अध्ययन व्यावहारिक रूप से समाप्त हो गया था और उसी रूप में प्रस्तुत किया गया था जिस रूप में वे अभी भी मौजूद हैं। केवल हरमन मिन्कोव्स्की की खोज, जिन्होंने सपाट आकृतियों के लिए एक "आवरण परत" का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जिसकी मोटाई शून्य होने के साथ, इसे अभिनव माना जा सकता है, उच्च सटीकता के साथ वांछित सतह क्षेत्र को निर्धारित करना संभव बनाता है। लेकिन यह विधि केवल तभी काम करती है जब एडिटिविटी देखी जाती है, और इसे सार्वभौमिक नहीं माना जा सकता।

क्षेत्र कैसे खोजें (क्षेत्र सूत्र)

प्राचीन मिस्रवासी सरल ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की गणना करना जानते थे, और जैसे-जैसे सभ्यताएँ विकसित हुईं, गणना के लिए अधिक से अधिक नए सूत्र सामने आए।

उदाहरण के लिए, आज एक साधारण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए 7 सूत्र हैं, जिनमें से प्रत्येक चर के बजाय संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करते समय सही है। अधिकांश अन्य आकृतियों के बारे में भी यही कहा जा सकता है: वृत्त, वर्ग, समलंब, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज।

त्रिभुज

आपको एक त्रिकोण से शुरुआत करनी चाहिए - मूल ज्यामितीय आकृति जिस पर सभी आधुनिक त्रिकोणमिति बनी है। एक साधारण (गैर-आयताकार) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए 4 मूल सूत्र हैं:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

इन सूत्रों में, a, b और c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, h इसकी ऊंचाई है, r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है, R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है, और p अर्ध है -परिधि बराबर - (ए + बी + सी) / 2। त्रिकोणमिति का उपयोग करके, आप तीन और सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोण का क्षेत्रफल निर्धारित कर सकते हैं:

एस = (1/2) ⋅ ए ⋅ बी ⋅ पाप γ.
एस = (1/2) ⋅ ए ⋅ सी ⋅ पाप β.
एस = (1/2) ⋅ बी ⋅ सी ⋅ पाप α.

तदनुसार, α, β और γ आसन्न भुजाओं के बीच के कोण हैं। इन सूत्रों का उपयोग करके, आप समकोण और समबाहु सहित किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, तो इसका क्षेत्रफल कर्ण और ऊंचाई से, कर्ण और न्यून कोण से, पाद और न्यून कोण से, और अंकित वृत्त और कर्ण की त्रिज्या से भी पाया जा सकता है।

वर्ग और आयत

एक अन्य सरल ज्यामितीय आकृति एक वर्ग है, जिसके क्षेत्रफल की गणना किसी फलक या विकर्ण की लंबाई जानकर की जा सकती है। गणना के सूत्र इस प्रकार दिखते हैं:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

तदनुसार, a चेहरे की लंबाई है, और d विकर्ण की लंबाई है। जहां तक आयत का सवाल है, इसके लिए चतुर्भुज की गणना के लिए केवल एक ही विकल्प संभव है: सूत्र S = a ⋅ b के अनुसार, जहां a और b भुजाओं की लंबाई हैं।

समानांतर चतुर्भुज

एक समांतर चतुर्भुज में, सभी कोण 90 डिग्री से भिन्न होते हैं, लेकिन एक साथ जोड़े जाने पर प्रत्येक तरफ 180 डिग्री मिलते हैं। अर्थात्, दो विपरीत कोण हमेशा न्यून होते हैं, और अन्य दो अधिक कोण होते हैं। इन विशेषताओं को देखते हुए, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए 3 सूत्र हैं:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ synα,
एस = (1/2) ⋅ डी1 ⋅ डी2 ⋅ पाप γ।

तदनुसार, a और b समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई हैं, h इसकी ऊंचाई है, d1 और d2 विकर्णों की लंबाई हैं, α भुजाओं के बीच का कोण है, और γ विकर्णों के बीच का कोण है। इनमें से कौन सा मान ज्ञात है, इसके आधार पर, आप उन्हें चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करके आवश्यक क्षेत्र को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं।

सर्कल

एक नियमित वृत्त के लिए, क्षेत्रफल की गणना करते समय केवल त्रिज्या और व्यास मायने रखता है - परिधि को ध्यान में रखे बिना। गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

तदनुसार, π एक स्थिरांक है (3.14... के बराबर), r वृत्त की त्रिज्या है, और d इसका व्यास है।

चतुर्भुज

आप उत्तल चतुर्भुज के चतुर्भुज की गणना उसके विकर्णों की लंबाई और उनके बीच के कोणों, भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोणों के साथ-साथ खुदे हुए और परिचालित वृत्तों की त्रिज्या को जानकर कर सकते हैं। तदनुसार, चार सूत्रों में से एक को लागू किया जा सकता है:

एस = (1/2) ⋅ डी1 ⋅ डी2 ⋅ पाप α।
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

इन सूत्रों में, d1 और d2 चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई हैं, r अंकित वृत्त की त्रिज्या है, p अर्ध-परिधि है, α विकर्णों के बीच का कोण है, और θ आधा है- दो विपरीत कोणों का योग, या (α + β) / 2.

हीरा

इस सरल ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, 3 सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जिसमें चर ऊंचाई, भुजाओं की लंबाई, कोण और विकर्ण हैं। गणना करने के लिए, आप तीन समीकरणों में से एक को लागू कर सकते हैं:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

उनमें, a समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई है, h उससे नीचे की ऊंचाई की लंबाई है, α दोनों पक्षों के बीच का कोण है, और d1 और d2 विकर्णों की लंबाई हैं।

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ट्रेपेज़ॉइड

आप दो समानांतर भुजाओं वाले एक समलम्ब चतुर्भुज का चतुर्भुज निर्धारित कर सकते हैं, इसकी ऊंचाई और आधारों के योग का आधा हिस्सा जानकर, साथ ही भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके - हेरॉन के सूत्र के अनुसार:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
एस = ((ए + बी) / |ए - बी|) ⋅ √((पी - ए) ⋅ (पी - बी) ⋅ (पी - ए - सी) ⋅ (पी - ए - डी))।

इन अभिव्यक्तियों में, a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई हैं, c और d पार्श्व फलकों की लंबाई हैं, h ऊँचाई है, और p (a + b +) के बराबर अर्ध-परिधि है सी + डी) / 2.

ज्यादातर सूचीबद्ध सूत्रों को कागज के टुकड़े या कैलकुलेटर पर गणना करना आसान है, लेकिन आज सबसे आसान विकल्प एक ब्राउज़र-आधारित ऑनलाइन एप्लिकेशन है जिसमें सभी चर पहले से ही निर्दिष्ट हैं, और जो कुछ बचा है वह ज्ञात जोड़ना है उनके खाली फ़ील्ड में नंबर।

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