Pindalakalkulaator

Im Alltag begegnet uns oft ein Merkmal wie die Fläche. Zum Beispiel - die Fläche des Tisches, der Wände, der Wohnung, des Grundstücks, des Landes, des Kontinents. Dies gilt nur für ebene und bedingt ebene Flächen, die durch Länge/Breite, Radius/Durchmesser, Diagonalen, Höhen und Winkel definiert werden können.

Dem ist ein ganzer Abschnitt der Geometrie gewidmet, in dem ebene Figuren untersucht werden: Quadrate, Rechtecke, Trapeze, Rauten, Kreise, Ellipsen, Dreiecke – Planimetrie.

Historischer Hintergrund

Archäologische Studien zeigen, dass die alten Babylonier vor 4.000 bis 5.000 Jahren in der Lage waren, die Oberfläche zu messen. Der babylonischen Zivilisation wird die Entdeckung und Umsetzung dieses mathematischen Merkmals zugeschrieben, auf dem später die komplexesten Berechnungen aufbauten: von geographisch bis astronomisch.

Anfangs wurde die Fläche nur zur Messung von Land verwendet. Sie waren in gleich große Quadrate unterteilt, was die Abrechnung von Acker- und Weideflächen vereinfachte. Anschließend wurde das Merkmal in der Architektur und Stadtplanung verwendet.

Wenn in Babylon der Begriff „Fläche“ untrennbar mit einem Quadrat (später einem Rechteck) verbunden war, dann erweiterten die alten Ägypter die babylonische Lehre und wandten sie auf andere, komplexere Figuren an. Im alten Ägypten wusste man also, wie man die Fläche von Parallelogrammen, Dreiecken und Trapezen bestimmt. Darüber hinaus nach den gleichen Grundformeln, die heute verwendet werden.

Zum Beispiel wurde die Fläche eines Rechtecks als seine Länge mal seine Breite berechnet, und die Fläche eines Dreiecks wurde als die Hälfte seiner Grundfläche mal seiner Höhe berechnet. Bei der Arbeit mit komplexeren Figuren (Polyedern) wurden diese zunächst in einfache Figuren zerlegt und dann anhand von Grundformeln berechnet, wobei die Messwerte ersetzt wurden. Diese Methode wird in der Geometrie immer noch verwendet, obwohl es spezielle komplexe Formeln für Polyeder gibt.

Das antike Griechenland und Indien

Wissenschaftler lernten erst im III.-II. Jahrhundert v. Chr., mit runden Figuren zu arbeiten. Die Rede ist von den antiken griechischen Forschern Euklid und Archimedes und insbesondere vom Grundlagenwerk „Anfänge“ (Bücher V und XII). Darin bewies Euklid wissenschaftlich, dass die Flächen von Kreisen wie die Quadrate ihrer Durchmesser zueinander in Beziehung stehen. Er entwickelte auch eine Methode zum Aufbau einer Abfolge von Bereichen, die mit zunehmendem Wachstum den gewünschten Bereich nach und nach „erschöpfen“.

Archimedes wiederum berechnete zum ersten Mal in der Geschichte die Fläche eines Parabelsegments und brachte in seiner wissenschaftlichen Arbeit zur Berechnung der Windungen von Spiralen innovative Ideen vor. Ihm gehört die grundlegende Entdeckung der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise, deren Radien zur Berechnung der Flächen vieler geometrischer Formen mit hoher Genauigkeit verwendet werden können.

Indische Wissenschaftler setzten ihre Forschungen im frühen Mittelalter fort, nachdem sie von den alten Ägyptern und Griechen gelernt hatten. So führte der berühmte Astronom und Mathematiker Brahmagupta im 7. Jahrhundert n. Chr. ein Konzept wie „Semiperimeter“ (bezeichnet als p) ein und entwickelte damit neue Formeln zur Berechnung flacher, in Kreise eingeschriebener Vierecke. Aber alle Formeln wurden in der „Metrik“ und anderen wissenschaftlichen Werken nicht in Textform, sondern in grafischer Form dargestellt: als Diagramme und Zeichnungen, und erhielten ihre endgültige Form erst viel später – erst im 17. Jahrhundert in Europa.

Europa

Dann, im Jahr 1604, wurde die von Euklid entdeckte Erschöpfungsmethode vom italienischen Wissenschaftler Luca Valerio verallgemeinert. Er bewies, dass der Unterschied zwischen den Flächen einer eingeschriebenen und einer umschriebenen Figur kleiner als jede gegebene Fläche gemacht werden kann, vorausgesetzt, sie bestehen aus Parallelogrammen. Und der deutsche Wissenschaftler Johannes Kepler (Johannes Kepler) berechnete zunächst die Fläche der Ellipse, die er für die astronomische Forschung benötigte. Der Kern der Methode bestand darin, die Ellipse in Schritten von 1 Grad in viele Linien zu zerlegen.

Ab dem 19. und 20. Jahrhundert waren die Untersuchungen zu den Bereichen der Flachfiguren praktisch erschöpft und wurden in der Form präsentiert, in der sie noch vorhanden sind. Erst die Entdeckung von Herman Minkowski, der vorschlug, für flache Figuren eine „Hüllschicht“ zu verwenden, die mit einer gegen Null gehenden Dicke als innovativ angesehen werden kann, ermöglicht es, die gewünschte Oberfläche mit hoher Genauigkeit zu bestimmen. Diese Methode funktioniert jedoch nur, wenn Additivität beachtet wird, und kann nicht als universell angesehen werden.

Pindala arvutamine (pindala valemid)

Muistsed egiptlased teadsid, kuidas arvutada lihtsate geomeetriliste kujundite pindalasid ja tsivilisatsioonide arenedes ilmus üha uusi arvutusvalemeid.

Näiteks tänapäeval on tavalise kolmnurga jaoks pindala arvutamiseks 7 valemit, millest igaüks on õige, kui muutujate asemel asendatakse arvväärtused. Sama võib öelda ka enamiku teiste kujundite kohta: ring, ruut, trapets, rööpkülik, romb.

Kolmnurk

Alustage kolmnurgast – põhilisest geomeetrilisest kujundist, millele on üles ehitatud kogu kaasaegne trigonomeetria. Tavalise (mitteristkülikukujulise) kolmnurga pindala arvutamiseks on 4 põhivalemit:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

Nendes valemites on a, b ja c kolmnurga külgede pikkused, h on selle kõrgus, r on sisse kirjutatud ringi raadius, R on piiritletud ringi raadius ja p on poolnurk -perimeeter võrdub - (a + b + c) / 2. Trigonomeetria abil saate määrata kolmnurga pindala veel kolme valemi abil:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

Sellele vastavalt on α, β ja γ külgnevate külgede vahelised nurgad. Nende valemite abil saate arvutada mis tahes kolmnurga pindala, sealhulgas täisnurkse ja võrdkülgse kolmnurga pindala.

Kui kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, saab selle pindala leida ka hüpotenuusi ja kõrguse, hüpotenuusi ja teravnurga, jala- ja teravnurga ning ka sisse kirjutatud ringi ja hüpotenuusi raadiuse järgi.

Ruut ja ristkülik

Teine lihtne geomeetriline kujund on ruut, mille pindala saab arvutada, teades näo või diagonaali pikkust. Arvutuste valemid näevad välja järgmised:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

A on seega näo pikkus ja d on diagonaali pikkus. Mis puutub ristkülikusse, siis selle jaoks on kvadratuuri arvutamiseks võimalik ainult üks variant: valemi S = a ⋅ b järgi, kus a ja b on külgede pikkused.

Parallelogramm

Rööpkülikukujulises nurgas erinevad kõik nurgad 90 kraadist, kuid koos annavad mõlemal küljel 180 kraadi. See tähendab, et kaks vastandnurka on alati teravad ja ülejäänud kaks nürinurka. Arvestades neid omadusi, on rööpküliku pindala arvutamiseks kolm valemit:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A ja b on rööpküliku külgede pikkused, h on selle kõrgus, d1 ja d2 on diagonaalide pikkused, α on külgede vaheline nurk ja γ on diagonaalide vaheline nurk. Sõltuvalt sellest, millised neist väärtustest on teada, saate kiiresti määrata vajaliku ala, asendades need muutujate asemel.

Suhtlusring

Tavalise ringi puhul on pindala arvutamisel oluline ainult raadius ja diameeter – ümbermõõtu arvesse võtmata. Arvutused tehakse järgmiste valemite järgi:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

Sellest tulenevalt on π konstant (võrdne 3,14-ga...), r on ringi raadius ja d on selle läbimõõt.

Nelinurk

Saate arvutada kumera nelinurga kvadratuuri, teades selle diagonaalide pikkust ja nendevahelisi nurki, külgede pikkusi ja nendevahelisi nurki, samuti sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiusi. Vastavalt sellele saab rakendada ühte neljast valemist:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

Nendes valemites on d1 ja d2 nelinurga diagonaalide pikkused, r on sisse kirjutatud ringjoone raadius, p on poolperimeeter, α on diagonaalide vaheline nurk ja θ on poolringi pikkus. kahe vastandnurga summa ehk (α + β) / 2.

Teemant

Selle lihtsa geomeetrilise kujundi pindala arvutamiseks kasutatakse 3 valemit, milles muutujateks on kõrgus, küljepikkused, nurgad ja diagonaalid. Arvutamiseks võite rakendada ühte kolmest võrrandist:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

Nendes on a rombi külje pikkus, h sellele langetatud kõrguse pikkus, α on kahe külje vaheline nurk ning d1 ja d2 on diagonaalide pikkused.

Trapets

Saate määrata kahe paralleelse küljega trapetsi kvadratuuri, teades selle kõrgust ja poolte aluste summat, samuti kasutades külgede pikkusi – Heroni valemi järgi:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

Nendes avaldistes on a ja b trapetsi aluste pikkused, c ja d on külgpindade pikkused, h on kõrgus ja p on poolperimeeter, mis on võrdne (a + b + c + d) / 2.

Enamikku loetletud valemeid on lihtne paberitüki või kalkulaatoriga arvutada, kuid tänapäeval on lihtsaim variant brauseripõhine veebirakendus, milles kõik muutujad on juba määratud ja jääb üle vaid teadaolevad lisada numbrid nende tühjadele väljadele.

Pindalakalkulaator

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