Arealberegner

De gamle egyptere vidste, hvordan man beregnede arealer af simple geometriske former, og efterhånden som civilisationerne udviklede sig, dukkede flere og flere nye formler til beregninger op.

For eksempel er der i dag for en almindelig trekant 7 formler til beregning af arealet, som hver er korrekte, når man erstatter numeriske værdier i stedet for variable. Det samme kan siges om de fleste andre former: cirkel, firkant, trapez, parallelogram, rombe.

Trekant

Du bør starte med en trekant - den grundlæggende geometriske figur, som al moderne trigonometri er bygget på. Der er 4 grundlæggende formler til at beregne arealet af en almindelig (ikke-rektangulær) trekant:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p ⋅ r.

I disse formler er a, b og c længderne af trekantens sider, h er dens højde, r er radius af den indskrevne cirkel, R er radius af den omskrevne cirkel, og p er semi -perimeter lig med - (a + b + c) / 2. Ved hjælp af trigonometri kan du bestemme arealet af en trekant ved hjælp af yderligere tre formler:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

A, β og γ er derfor vinklerne mellem tilstødende sider. Ved hjælp af disse formler kan du beregne arealet af enhver trekant, inklusive retvinklede og ligesidede.

Hvis trekanten er en retvinklet trekant, kan dens areal også findes fra hypotenusen og højden, fra hypotenusen og den spidse vinkel, fra benet og den spidse vinkel og også fra radius af den indskrevne cirkel og hypotenusen.

Kvadrat og rektangel

En anden simpel geometrisk figur er en firkant, hvis areal kan beregnes ved at kende længden af ​​en flade eller diagonal. Formler til beregninger ser således ud:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

A er følgelig længden af ​​ansigtet, og d er længden af ​​diagonalen. Med hensyn til rektanglet er der kun én mulighed for at beregne kvadraturen for det: ifølge formlen S = a ⋅ b, hvor a og b er længderne af siderne.

Parallelogram

I et parallelogram er alle vinkler forskellige fra 90 grader, men parret giver 180 grader på hver side. Det vil sige, at to modsatte vinkler altid er spidse, og de to andre er stumpe. I betragtning af disse funktioner er der 3 formler til at beregne arealet af et parallelogram:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα,
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A og b er derfor længderne af parallellogrammets sider, h er dets højde, d1 og d2 er længderne af diagonalerne, α er vinklen mellem siderne, og γ er vinklen mellem diagonalerne. Afhængigt af hvilke af disse værdier der er kendt, kan du hurtigt bestemme det nødvendige område ved at erstatte dem i stedet for variabler.

Cirkel

For en regulær cirkel er det kun radius og diameter, der har betydning, når arealet beregnes - uden at tage højde for omkredsen. Beregninger udføres efter formlerne:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

I overensstemmelse hermed er π en konstant (lig med 3,14...), r er radius af cirklen, og d er dens diameter.

Firekant

Du kan beregne kvadraturen af ​​en konveks firkant ved at kende længden af ​​dens diagonaler og vinklerne mellem dem, længden af ​​siderne og vinklerne mellem dem, samt radierne af de indskrevne og omskrevne cirkler. Følgelig kan en af ​​fire formler anvendes:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p ⋅ r.
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

I disse formler er d1 og d2 længderne af firkantens diagonaler, r er radius af den indskrevne cirkel, p er den halve omkreds, α er vinklen mellem diagonalerne, og θ er halv- summen af ​​to modsatte vinkler, eller (α + β) / 2.

Diamant

For at beregne arealet af denne simple geometriske figur bruges 3 formler, hvor variablerne er højde, sidelængder, vinkler og diagonaler. For at beregne kan du anvende en af ​​tre ligninger:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

I dem er a længden af ​​siden af ​​romben, h er længden af ​​højden sænket til den, α er vinklen mellem de to sider, og d1 og d2 er længderne af diagonalerne.

Trapez

Du kan bestemme kvadraturen af ​​en trapez med to parallelle sider ved at kende dens højde og halvdelen af ​​summen af ​​baserne, samt bruge længderne af siderne - ifølge Herons formel:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

I disse udtryk er a og b længderne af trapezets baser, c og d er længderne af sidefladerne, h er højden, og p er halvperimeteren lig med (a + b + c + d) / 2.

De fleste af de anførte formler er nemme at beregne på et stykke papir eller en lommeregner, men den nemmeste mulighed i dag er en browserbaseret online applikation, hvor alle variabler allerede er specificeret, og det eneste der er tilbage er at tilføje kendte tal til deres tomme felter.