Arealberegner

Indstillinger
- Mørkt tema

Andre værktøjer

Perimeterberegner{$ ',' | translate $}
Rumfangsberegner{$ ',' | translate $}
Multiplikationstabel{$ ',' | translate $}
Periodiske system{$ ',' | translate $}
Matrixberegner{$ ',' | translate $}
LCM-beregner{$ ',' | translate $}
Trigonometri lommeregner{$ ',' | translate $}
GCF-beregner

Arealberegner

I hverdagen støder vi ofte på sådan en egenskab som område. For eksempel - området af bordet, væggene, lejligheden, grunden, landet, kontinentet. Det gælder kun for flade og betinget plane overflader, der kan defineres ved længde/bredde, radius/diameter, diagonaler, højder og vinkler.

En hel sektion af geometri er viet til dette og studerer plane figurer: kvadrater, rektangler, trapezoider, romber, cirkler, ellipser, trekanter - planimetri.

Historisk baggrund

Arkæologiske undersøgelser viser, at de gamle babyloniere var i stand til at måle overfladearealet for 4-5 tusinde år siden. Det er den babylonske civilisation, der er krediteret for opdagelsen og implementeringen af denne matematiske egenskab, som de mest komplekse beregninger efterfølgende blev bygget på: fra geografisk til astronomisk.

Oprindeligt blev areal kun brugt til at måle jord. De blev opdelt i kvadrater af samme størrelse, hvilket forenklede regnskabet over afgrødearealer og græsgange. Efterfølgende blev karakteristikken brugt i arkitektur og byplanlægning.

Hvis begrebet "område" i Babylon var uløseligt forbundet med en firkant (senere - et rektangel), så udvidede de gamle egyptere den babylonske lære og anvendte den på andre, mere komplekse figurer. Så i det gamle Egypten vidste de, hvordan man bestemmer området af parallellogrammer, trekanter og trapezoider. Desuden efter de samme grundformler, som bruges i dag.

For eksempel blev arealet af et rektangel beregnet som dets længde gange dets bredde, og arealet af en trekant blev beregnet som halvdelen af dets basis gange dets højde. Når man arbejdede med mere komplekse figurer (polyedre), blev de først opdelt i simple figurer og derefter beregnet ved hjælp af grundlæggende formler, der erstattede de målte værdier. Denne metode bruges stadig i geometri, på trods af tilstedeværelsen af særlige komplekse formler for polyedre.

Det antikke Grækenland og Indien

Forskere lærte først at arbejde med afrundede figurer i III-II århundreder f.Kr. Vi taler om de antikke græske forskere Euklid og Arkimedes, og i særdeleshed om grundværket "Begyndelser" (bog V og XII). I dem beviste Euclid videnskabeligt, at områderne af cirkler er relateret til hinanden som kvadraterne af deres diametre. Han udviklede også en metode til at konstruere en sekvens af områder, som, efterhånden som de vokser, gradvist "udtømmer" det ønskede område.

Til gengæld beregnede Archimedes for første gang i historien arealet af et segment af en parabel og fremsatte innovative ideer i sit videnskabelige arbejde med at beregne drejninger af spiraler. Det er ham, den grundlæggende opdagelse af indskrevne og omskrevne cirkler tilhører, hvis radier kan bruges til at beregne arealer af mange geometriske former med høj nøjagtighed.

Indiske videnskabsmænd, efter at have lært af de gamle egyptere og grækere, fortsatte deres forskning i den tidlige middelalder. Så den berømte astronom og matematiker Brahmagupta i det 7. århundrede e.Kr. introducerede et sådant koncept som "semiperimeter" (betegnet som p), og ved hjælp af det udviklede det nye formler til beregning af flade firkanter indskrevet i cirkler. Men alle formlerne blev præsenteret i "Metric" og andre videnskabelige værker, ikke i tekst, men i grafisk form: som diagrammer og tegninger, og modtog deres endelige form meget senere - først i det 17. århundrede, i Europa.

Europa

Så, i 1604, blev udmattelsesmetoden opdaget af Euclid generaliseret af den italienske videnskabsmand Luca Valerio. Han beviste, at forskellen mellem områderne af en indskrevet og omskrevet figur kan gøres mindre end et givet område, forudsat at de består af parallelogrammer. Og den tyske videnskabsmand Johannes Kepler (Johannes Kepler) beregnede først arealet af ellipsen, som han havde brug for til astronomisk forskning. Essensen af metoden var at dekomponere ellipsen i mange linjer med et trin på 1 grad.

Fra det 19.-20. århundrede var studier af flade figurers områder praktisk talt udtømte og præsenteret i den form, de stadig eksisterer i. Kun opdagelsen af Herman Minkowski, der foreslog at bruge et "omsluttende lag" til flade figurer, som med en tykkelse, der tenderer til nul, kan betragtes som innovativt, gør det muligt at bestemme det ønskede overfladeareal med høj nøjagtighed. Men denne metode virker kun, hvis additivitet observeres, og kan ikke betragtes som universel.

Sådan findes areal (arealformler)

De gamle egyptere vidste, hvordan man beregnede arealer af simple geometriske former, og efterhånden som civilisationerne udviklede sig, dukkede flere og flere nye formler til beregninger op.

For eksempel er der i dag for en almindelig trekant 7 formler til beregning af arealet, som hver er korrekte, når man erstatter numeriske værdier i stedet for variable. Det samme kan siges om de fleste andre former: cirkel, firkant, trapez, parallelogram, rombe.

Trekant

Du bør starte med en trekant - den grundlæggende geometriske figur, som al moderne trigonometri er bygget på. Der er 4 grundlæggende formler til at beregne arealet af en almindelig (ikke-rektangulær) trekant:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

I disse formler er a, b og c længderne af trekantens sider, h er dens højde, r er radius af den indskrevne cirkel, R er radius af den omskrevne cirkel, og p er semi -perimeter lig med - (a + b + c) / 2. Ved hjælp af trigonometri kan du bestemme arealet af en trekant ved hjælp af yderligere tre formler:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

A, β og γ er derfor vinklerne mellem tilstødende sider. Ved hjælp af disse formler kan du beregne arealet af enhver trekant, inklusive retvinklede og ligesidede.

Hvis trekanten er en retvinklet trekant, kan dens areal også findes fra hypotenusen og højden, fra hypotenusen og den spidse vinkel, fra benet og den spidse vinkel og også fra radius af den indskrevne cirkel og hypotenusen.

Kvadrat og rektangel

En anden simpel geometrisk figur er en firkant, hvis areal kan beregnes ved at kende længden af en flade eller diagonal. Formler til beregninger ser således ud:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

A er følgelig længden af ansigtet, og d er længden af diagonalen. Med hensyn til rektanglet er der kun én mulighed for at beregne kvadraturen for det: ifølge formlen S = a ⋅ b, hvor a og b er længderne af siderne.

Parallelogram

I et parallelogram er alle vinkler forskellige fra 90 grader, men parret giver 180 grader på hver side. Det vil sige, at to modsatte vinkler altid er spidse, og de to andre er stumpe. I betragtning af disse funktioner er der 3 formler til at beregne arealet af et parallelogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

A og b er derfor længderne af parallellogrammets sider, h er dets højde, d1 og d2 er længderne af diagonalerne, α er vinklen mellem siderne, og γ er vinklen mellem diagonalerne. Afhængigt af hvilke af disse værdier der er kendt, kan du hurtigt bestemme det nødvendige område ved at erstatte dem i stedet for variabler.

Cirkel

For en regulær cirkel er det kun radius og diameter, der har betydning, når arealet beregnes - uden at tage højde for omkredsen. Beregninger udføres efter formlerne:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

I overensstemmelse hermed er π en konstant (lig med 3,14...), r er radius af cirklen, og d er dens diameter.

Firekant

Du kan beregne kvadraturen af en konveks firkant ved at kende længden af dens diagonaler og vinklerne mellem dem, længden af siderne og vinklerne mellem dem, samt radierne af de indskrevne og omskrevne cirkler. Følgelig kan en af fire formler anvendes:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

I disse formler er d1 og d2 længderne af firkantens diagonaler, r er radius af den indskrevne cirkel, p er den halve omkreds, α er vinklen mellem diagonalerne, og θ er halv- summen af to modsatte vinkler, eller (α + β) / 2.

Diamant

For at beregne arealet af denne simple geometriske figur bruges 3 formler, hvor variablerne er højde, sidelængder, vinkler og diagonaler. For at beregne kan du anvende en af tre ligninger:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

I dem er a længden af siden af romben, h er længden af højden sænket til den, α er vinklen mellem de to sider, og d1 og d2 er længderne af diagonalerne.

Trapez

Du kan bestemme kvadraturen af en trapez med to parallelle sider ved at kende dens højde og halvdelen af summen af baserne, samt bruge længderne af siderne - ifølge Herons formel:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

I disse udtryk er a og b længderne af trapezets baser, c og d er længderne af sidefladerne, h er højden, og p er halvperimeteren lig med (a + b + c + d) / 2.

De fleste af de anførte formler er nemme at beregne på et stykke papir eller en lommeregner, men den nemmeste mulighed i dag er en browserbaseret online applikation, hvor alle variabler allerede er specificeret, og det eneste der er tilbage er at tilføje kendte tal til deres tomme felter.