Kalkulačka pro výpočet obsahu

V každodenním životě se často setkáváme s takovou charakteristikou, jako je oblast. Například - plocha stolu, stěny, byt, pozemek, země, kontinent. Platí pouze pro rovné a podmíněně ploché povrchy, které lze definovat délkou/šířkou, poloměrem/průměrem, úhlopříčkami, výškami a úhly.

Tomu je věnována celá část geometrie, která studuje rovinné útvary: čtverce, obdélníky, lichoběžníky, kosočtverce, kružnice, elipsy, trojúhelníky – planimetrie.

Historické pozadí

Archeologické studie naznačují, že staří Babyloňané byli schopni změřit plochu před 4–5 tisíci lety. Právě babylonské civilizaci se připisuje objev a implementace této matematické charakteristiky, na níž byly následně postaveny ty nejsložitější výpočty: od geografických po astronomické.

Zpočátku se plocha používala pouze k měření půdy. Byly rozděleny na čtverce stejné velikosti, což zjednodušilo účtování obilí a pastvin. Následně byla charakteristika použita v architektuře a urbanismu.

Pokud byl v Babylonu pojem „plocha“ nerozlučně spojen se čtvercem (později obdélníkem), pak staří Egypťané rozšířili babylonské učení a aplikovali ho na další, složitější postavy. Takže ve starověkém Egyptě věděli, jak určit oblast rovnoběžek, trojúhelníků a lichoběžníků. Navíc podle stejných základních vzorců, které se používají dnes.

Například plocha obdélníku byla vypočtena jako jeho délka krát jeho šířka a plocha trojúhelníku byla vypočtena jako polovina jeho základny krát jeho výška. Při práci se složitějšími obrazci (mnohostěny) byly nejprve rozloženy na jednoduché obrazce a následně vypočteny pomocí základních vzorců, které nahradily naměřené hodnoty. Tato metoda se stále používá v geometrii, navzdory přítomnosti speciálních složitých vzorců pro mnohostěny.

Starověké Řecko a Indie

Vědci se naučili pracovat se zaoblenými postavami až ve III-II století před naším letopočtem. Hovoříme o starověkých řeckých badatelích Euklidovi a Archimedovi, a zejména o základním díle „Počátky“ (knihy V a XII). V nich Euklides vědecky dokázal, že plochy kruhů spolu souvisí jako druhé mocniny jejich průměrů. Vyvinul také metodu pro konstrukci posloupnosti oblastí, které, jak rostou, postupně „vyčerpají“ požadovanou oblast.

Na druhé straně Archimedes poprvé v historii vypočítal plochu segmentu paraboly a předložil inovativní nápady ve své vědecké práci na počítání závitů spirál. Právě jemu náleží zásadní objev vepsaných a opsaných kružnic, jejichž poloměry lze s vysokou přesností použít k výpočtu ploch mnoha geometrických tvarů.

Indičtí vědci, kteří se poučili od starých Egypťanů a Řeků, pokračovali ve svém výzkumu během raného středověku. A tak slavný astronom a matematik Brahmagupta v 7. století našeho letopočtu zavedl takový koncept jako „semiperimetr“ (označovaný jako p) a pomocí něj vyvinul nové vzorce pro výpočet plochých čtyřúhelníků vepsaných do kružnic. Všechny vzorce však nebyly v metrických a jiných vědeckých dílech prezentovány v textové podobě, ale v grafické podobě: jako diagramy a kresby a svou konečnou podobu získaly mnohem později – v Evropě až v 17. století.

Evropa

Poté, v roce 1604, metodu vyčerpání objevenou Euklidem zobecnil italský vědec Luca Valerio. Dokázal, že rozdíl mezi plochami vepsaných a opsaných obrazců může být menší než jakákoli daná plocha – za předpokladu, že jsou tvořeny rovnoběžníky. A německý vědec Johannes Kepler (Johannes Kepler) nejprve vypočítal plochu elipsy, kterou potřeboval pro astronomický výzkum. Podstatou metody bylo rozložit elipsu na mnoho čar s krokem 1 stupně.

V 19.-20. století byly studie ploch plochých figur prakticky vyčerpány a prezentovány v podobě, v jaké stále existují. Teprve objev Hermana Minkowského, který navrhl použít pro ploché obrazce „obalovou vrstvu“, kterou lze s nulovou tloušťkou považovat za inovativní, umožňuje určit požadovanou plochu s vysokou přesností. Tato metoda však funguje pouze v případě, že je pozorována aditivita, a nelze ji považovat za univerzální.

Staří Egypťané věděli, jak vypočítat plochy jednoduchých geometrických tvarů, a jak se civilizace vyvíjely, objevovalo se stále více nových vzorců pro výpočty.

Například dnes pro běžný trojúhelník existuje 7 vzorců pro výpočet plochy, z nichž každý je správný při dosazení číselných hodnot namísto proměnných. Totéž lze říci o většině ostatních tvarů: kruh, čtverec, lichoběžník, rovnoběžník, kosočtverec.

Trojúhelník

Měli byste začít trojúhelníkem – základním geometrickým útvarem, na kterém je postavena veškerá moderní trigonometrie. Pro výpočet plochy obyčejného (neobdélníkového) trojúhelníku existují 4 základní vzorce:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

V těchto vzorcích jsou a, b a c délky stran trojúhelníku, h je jeho výška, r je poloměr kružnice vepsané, R je poloměr kružnice opsané a p je polovina -obvod rovný - (a + b + c) / 2. Pomocí trigonometrie můžete určit obsah trojúhelníku pomocí dalších tří vzorců:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

V souladu s tím jsou α, β a γ úhly mezi sousedními stranami. Pomocí těchto vzorců můžete vypočítat obsah libovolného trojúhelníku, včetně pravoúhlého a rovnostranného.

Pokud je trojúhelník pravoúhlý, lze jeho obsah zjistit také z přepony a výšky, z přepony a ostrého úhlu, z ramene a ostrého úhlu a také z poloměru vepsané kružnice a přepony.

Čtverec a obdélník

Dalším jednoduchým geometrickým útvarem je čtverec, jehož plochu lze vypočítat na základě znalosti délky plochy nebo úhlopříčky. Vzorce pro výpočty vypadají takto:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

V souladu s tím je a délka obličeje a d délka úhlopříčky. Pokud jde o obdélník, je pro něj možná pouze jedna možnost výpočtu kvadratury: podle vzorce S = a ⋅ b, kde a a b jsou délky stran.

Paralelogram

V rovnoběžníku se všechny úhly liší od 90 stupňů, ale spárované dohromady dávají 180 stupňů na každé straně. To znamená, že dva opačné úhly jsou vždy ostré a další dva jsou tupé. Vzhledem k těmto vlastnostem existují 3 vzorce pro výpočet plochy rovnoběžníku:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

V souladu s tím jsou aab délky stran rovnoběžníku, h je jeho výška, d1 a d2 jsou délky úhlopříček, α je úhel mezi stranami a γ je úhel mezi úhlopříčkami. V závislosti na tom, které z těchto hodnot jsou známé, můžete rychle určit požadovanou oblast jejich nahrazením místo proměnných.

Kruh

U pravidelného kruhu záleží při výpočtu plochy pouze na poloměru a průměru – bez zohlednění obvodu. Výpočty se provádějí podle vzorců:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

V souladu s tím je π konstanta (rovná se 3,14...), r je poloměr kruhu a d je jeho průměr.

Čtyřúhelník

Kvadraturu konvexního čtyřúhelníka můžete vypočítat tak, že znáte délku jeho úhlopříček a úhlů mezi nimi, délky stran a úhly mezi nimi a také poloměry kružnic vepsaných a opsaných. V souladu s tím lze použít jeden ze čtyř vzorců:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

V těchto vzorcích jsou d1 a d2 délky úhlopříček čtyřúhelníku, r je poloměr kružnice vepsané, p je polovina obvodu, α je úhel mezi úhlopříčkami a θ je polovina- součet dvou protilehlých úhlů nebo (α + β) / 2.

Diamant

Pro výpočet plochy tohoto jednoduchého geometrického útvaru se používají 3 vzorce, ve kterých jsou proměnnými výška, délky stran, úhly a úhlopříčky. K výpočtu můžete použít jednu ze tří rovnic:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

V nich je a délka strany kosočtverce, h je délka výšky, která je k němu snížena, α je úhel mezi oběma stranami a d1 a d2 jsou délky úhlopříček.

Lichoběžník

Můžete určit kvadraturu lichoběžníku se dvěma rovnoběžnými stranami se znalostí jeho výšky a poloviny součtu základen a také pomocí délek stran – podle Heronova vzorce:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

V těchto výrazech jsou aab délky základen lichoběžníku, c a d jsou délky bočních ploch, h je výška a p je poloobvod rovný (a + b + c + d) / 2.

Většinu uvedených vzorců lze snadno vypočítat na kusu papíru nebo kalkulačky, ale nejsnazší možností je dnes online aplikace založená na prohlížeči, ve které jsou všechny proměnné již specifikovány a zbývá pouze přidat známé čísla do jejich prázdných polí.

{$ subpageListHide ? ('Show' | translate) : ('Hide' | translate) $}

Kalkulačka pro výpočet obsahu