Calculadora d’àrea

A la vida quotidiana, sovint ens trobem amb una característica com la zona. Per exemple: l'àrea de la taula, parets, apartament, parcel·la, país, continent. Només s'aplica a superfícies planes i condicionament planes que es poden definir per longitud/amplada, radi/diàmetre, diagonals, alçades i angles.

A això es dedica tota una secció de geometria, estudiant figures planes: quadrats, rectangles, trapezis, rombes, cercles, el·lipses, triangles - planimetria.

Antecedents històrics

Els estudis arqueològics indiquen que els antics babilonis van poder mesurar la superfície fa 4-5 mil anys. És a la civilització babilònica a qui se li atribueix el descobriment i la implementació d'aquesta característica matemàtica, sobre la qual es van construir posteriorment els càlculs més complexos: de geogràfics a astronòmics.

Al principi, l'àrea només s'utilitzava per mesurar la terra. Estaven dividits en quadrats de la mateixa mida, la qual cosa simplificava la comptabilitat de les terres de conreu i les pastures. Posteriorment, la característica es va utilitzar en arquitectura i urbanisme.

Si a Babilònia el concepte d'"àrea" estava inextricablement lligat amb un quadrat (més tard - un rectangle), aleshores els antics egipcis van ampliar l'ensenyament babilònic i l'aplicaven a altres figures més complexes. Així, a l'antic Egipte sabien determinar l'àrea de paral·lelograms, triangles i trapezis. A més, segons les mateixes fórmules bàsiques que s'utilitzen actualment.

Per exemple, l'àrea d'un rectangle es va calcular com la seva longitud multiplicada per la seva amplada, i l'àrea d'un triangle es va calcular com la meitat de la seva base per la seva alçada. Quan es treballava amb figures més complexes (poliedres), primer es desglossen en figures simples, i després es calculaven mitjançant fórmules bàsiques, substituint els valors mesurats. Aquest mètode encara s'utilitza en geometria, malgrat la presència de fórmules complexes especials per als poliedres.

Antiga Grècia i Índia

Els científics van aprendre a treballar amb figures arrodonides només als segles III-II aC. Estem parlant dels antics investigadors grecs Euclides i Arquímedes, i en particular de l'obra fonamental "Els inicis" (llibres V i XII). En ells, Euclides va demostrar científicament que les àrees dels cercles estan relacionades entre si com els quadrats dels seus diàmetres. També va desenvolupar un mètode per construir una seqüència d'àrees que, a mesura que creixen, "esgoten" gradualment l'àrea desitjada.

Al seu torn, Arquímedes va calcular per primera vegada a la història l'àrea d'un segment d'una paràbola i va avançar idees innovadores en el seu treball científic sobre el càlcul dels girs d'espirals. A ell pertany el descobriment fonamental dels cercles inscrits i circumscrits, els radis dels quals es poden utilitzar per calcular les àrees de moltes formes geomètriques amb gran precisió.

Els científics indis, després d'haver après dels antics egipcis i grecs, van continuar les seves investigacions durant la primera edat mitjana. Així doncs, el famós astrònom i matemàtic Brahmagupta al segle VII dC va introduir un concepte com a "semiperímetre" (indicat com p) i, utilitzant-lo, va desenvolupar noves fórmules per calcular quadrangles plans inscrits en cercles. Però totes les fórmules es van presentar a la "Mètrica" i altres obres científiques no en text, sinó en forma gràfica: com a diagrames i dibuixos, i van rebre la seva forma final molt més tard, només al segle XVII, a Europa.

Europa

Després, el 1604, el científic italià Luca Valerio va generalitzar el mètode d'esgotament descobert per Euclides. Va demostrar que la diferència entre les àrees d'una figura inscrita i circumscrita es pot fer més petita que qualsevol àrea determinada, sempre que estiguin formades per paral·lelograms. I el científic alemany Johannes Kepler (Johannes Kepler) va calcular per primera vegada l'àrea de l'el·lipse, que necessitava per a la investigació astronòmica. L'essència del mètode era descompondre l'el·lipse en moltes línies amb un pas d'1 grau.

A partir dels segles XIX-XX, els estudis de les zones de figures planes estaven pràcticament esgotats i es presentaven en la forma en què encara existeixen. Només el descobriment d'Herman Minkowski, que va proposar utilitzar una "capa envoltant" per a figures planes, que, amb un gruix tendència a zero, es pot considerar innovador, permet determinar la superfície desitjada amb gran precisió. Però aquest mètode només funciona si s'observa additivitat i no es pot considerar universal.

Com trobar l’àrea (fórmules d’àrea)

Els antics egipcis sabien calcular les àrees de formes geomètriques simples i, a mesura que es desenvolupaven les civilitzacions, van aparèixer més i més fórmules noves per als càlculs.

Per exemple, avui per a un triangle normal hi ha 7 fórmules per calcular l'àrea, cadascuna de les quals és correcta quan es substitueixen valors numèrics en lloc de variables. El mateix es pot dir de la majoria de les altres formes: cercle, quadrat, trapezi, paral·lelogram, rombe.

Triangle

Hauria de començar amb un triangle, la figura geomètrica bàsica sobre la qual es construeix tota la trigonometria moderna. Hi ha 4 fórmules bàsiques per calcular l'àrea d'un triangle ordinari (no rectangular):

S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
S = √(p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c)).
S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
S = p ⋅ r.

En aquestes fórmules, a, b i c són les longituds dels costats del triangle, h és la seva alçada, r és el radi del cercle inscrit, R és el radi del cercle circumscrit i p és el semi -perímetre igual a - (a + b + c) / 2. Mitjançant la trigonometria, podeu determinar l'àrea d'un triangle mitjançant tres fórmules més:

S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

En conseqüència, α, β i γ són els angles entre els costats adjacents. Amb aquestes fórmules, podeu calcular l'àrea de qualsevol triangle, inclosos els rectangles i equilàters.

Si el triangle és un triangle rectangle, la seva àrea també es pot trobar a partir de la hipotenusa i l'alçada, de la hipotenusa i l'angle agut, del catet i l'angle agut, i també del radi del cercle inscrit i de la hipotenusa.

Quadrat i Rectangle

Una altra figura geomètrica simple és un quadrat, l'àrea del qual es pot calcular coneixent la longitud d'una cara o diagonal. Les fórmules per als càlculs són així:

S = a².
S = (1/2) ⋅ d².

En conseqüència, a és la longitud de la cara i d és la longitud de la diagonal. Pel que fa al rectangle, només hi és possible una opció per calcular la quadratura: segons la fórmula S = a ⋅ b, on a i b són les longituds dels costats.

Paral·lelogram

En un paral·lelogram, tots els angles són diferents de 90 graus, però junts donen 180 graus a cada costat. És a dir, dos angles oposats són sempre aguts, i els altres dos són obtusos. Tenint en compte aquestes característiques, hi ha 3 fórmules per calcular l'àrea d'un paral·lelogram:

S = a ⋅ h.
S = a ⋅ b ⋅ sinα,
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

En conseqüència, a i b són les longituds dels costats del paral·lelogram, h és la seva alçada, d1 i d2 són les longituds de les diagonals, α és l'angle entre els costats i γ és l'angle entre les diagonals. En funció de quins d'aquests valors es coneguin, podeu determinar ràpidament l'àrea requerida substituint-los en lloc de variables.

Cercle

Per a un cercle regular, només importa el radi i el diàmetre quan es calcula l'àrea, sense tenir en compte la circumferència. Els càlculs es realitzen segons les fórmules:

S = π ⋅ r².
S = (1/4) ⋅ π ⋅ d².

En conseqüència, π és una constant (igual a 3,14...), r és el radi del cercle i d és el seu diàmetre.

Quadràngle

Podeu calcular la quadratura d'un quadrilàter convex coneixent la longitud de les seves diagonals i els angles entre elles, les longituds dels costats i els angles entre ells, així com els radis dels cercles inscrits i circumscrits. En conseqüència, es pot aplicar una de les quatre fórmules:

S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
S = p ⋅ r.
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) − a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
S = √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) ⋅ (p − d)).

En aquestes fórmules, d1 i d2 són les longituds de les diagonals del quadrangle, r és el radi del cercle inscrit, p és el mig perímetre, α és l'angle entre les diagonals i θ és la meitat- suma de dos angles oposats, o (α + β) / 2.

Diamant

Per calcular l'àrea d'aquesta simple figura geomètrica s'utilitzen 3 fórmules, en les quals les variables són l'alçada, les longituds dels costats, els angles i les diagonals. Per calcular, podeu aplicar una d'aquestes tres equacions:

S = a ⋅ h.
S = a² ⋅ sinα.
S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

En ells, a és la longitud del costat del rombe, h és la longitud de l'alçada baixada fins a aquest, α és l'angle entre els dos costats i d1 i d2 són les longituds de les diagonals.

Trapezi

Pots determinar la quadratura d'un trapezi amb dos costats paral·lels, coneixent la seva alçada i la meitat de la suma de les bases, així com utilitzant les longituds dels costats, segons la fórmula d'Heron:

S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
S = ((a + b) / |a − b|) ⋅ √((p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − a − c) ⋅ (p − a − d)).

En aquestes expressions, a i b són les longituds de les bases del trapezi, c i d són les longituds de les cares laterals, h és l'alçada i p és el semiperímetre igual a (a + b + c + d) / 2.

La majoria de les fórmules enumerades són fàcils de calcular en un paper o en una calculadora, però l'opció més senzilla avui és una aplicació en línia basada en navegador en la qual ja s'especifiquen totes les variables, i només queda afegir-hi conegudes. números als seus camps buits.

Calculadora d’àrea

Altres eines