حاسبة المساحة

عرف المصريون القدماء كيفية حساب مناطق الأشكال الهندسية البسيطة ، ومع تطور الحضارات ، ظهرت المزيد والمزيد من الصيغ الجديدة للحسابات.

على سبيل المثال ، يوجد اليوم في المثلث العادي 7 صيغ لحساب المساحة ، كل منها صحيح عند استبدال القيم الرقمية بدلاً من المتغيرات. يمكن قول الشيء نفسه عن معظم الأشكال الأخرى: الدائرة ، المربع ، شبه المنحرف ، متوازي الأضلاع ، المعين.

مثلث

يجب أن تبدأ بالمثلث - الشكل الهندسي الأساسي الذي بنيت عليه كل علم المثلثات الحديث. هناك 4 صيغ أساسية لحساب مساحة المثلث العادي (غير المستطيل):

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ h.
• S = √ (p ⋅ (p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c)).
• S = (a ⋅ b ⋅ c) / 4R.
• S = p r.

في هذه الصيغ ، a و b و c هي أطوال أضلاع المثلث ، و h ارتفاعه ، و r نصف قطر الدائرة المنقوشة ، و R هو نصف قطر الدائرة المحددة ، و p هو النصف - محيط يساوي - (أ + ب + ج) / 2. باستخدام حساب المثلثات ، يمكنك تحديد مساحة المثلث باستخدام ثلاث صيغ أخرى:

• S = (1/2) ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ.
• S = (1/2) ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β.
• S = (1/2) ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α.

وفقًا لذلك ، فإن α و و هي الزوايا الواقعة بين الأضلاع المتجاورة. باستخدام هذه الصيغ ، يمكنك حساب مساحة أي مثلث ، بما في ذلك المثلث القائم الزاوية والمتساوي الأضلاع.

إذا كان المثلث مثلثًا قائمًا ، فيمكن إيجاد مساحته أيضًا من الوتر والارتفاع ، ومن الوتر والزاوية الحادة ، ومن الضلع والزاوية الحادة ، وكذلك من نصف قطر الدائرة المنقوشة والوتر.

مربع ومستطيل

شكل هندسي بسيط آخر هو مربع ، يمكن حساب مساحته من خلال معرفة طول الوجه أو القطر. تبدو صيغ العمليات الحسابية على النحو التالي:

• S = a².
• S = (1/2) ⋅ d².

وفقًا لذلك ، a هو طول الوجه ، و d هو طول القطر. أما بالنسبة للمستطيل ، فهناك خيار واحد فقط لحساب التربيع ممكن له: وفقًا للصيغة S = a ⋅ b ، حيث a و b هما أطوال الأضلاع.

متوازي الأضلاع

في متوازي الأضلاع ، تختلف كل الزوايا عن 90 درجة ، لكن إذا تم إقرانها معًا ، نحصل على 180 درجة في كل جانب. أي أن الزاويتين المتقابلتين تكونان دائمًا حادتين ، والزاوية الأخرى منفرجة. بالنظر إلى هذه الميزات ، هناك 3 صيغ لحساب مساحة متوازي الأضلاع:

• S = a ⋅ h.
• S = a ⋅ b ⋅ sinα
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin γ.

وفقًا لذلك ، أ و ب هما أطوال ضلعي متوازي الأضلاع ، و h ارتفاعه ، و d1 و d2 أطوال قطري ، و α هي الزاوية بين الجانبين ، و هي الزاوية بين الأقطار. بناءً على أي من هذه القيم معروفة ، يمكنك تحديد المنطقة المطلوبة بسرعة عن طريق استبدالها بدلاً من المتغيرات.

دائرة

بالنسبة للدائرة المنتظمة ، لا يهم سوى نصف القطر والقطر عند حساب المساحة - دون مراعاة المحيط. تتم الحسابات وفقًا للصيغ:

• S = π ⋅ r².
• S = (1/4) ⋅ π ⋅ د².

وفقًا لذلك ، π ثابت (يساوي 3.14 ...) ، و r هو نصف قطر الدائرة ، و d هو قطرها.

رباعي الزوايا

يمكنك حساب تربيع الشكل الرباعي المحدب من خلال معرفة طول أقطارها والزوايا بينها وأطوال الأضلاع والزوايا بينها وكذلك نصف قطر الدوائر المنقوشة والمحددة. وفقًا لذلك ، يمكن تطبيق إحدى الصيغ الأربع:

• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2 ⋅ sin α.
• S = p r.
• S = √ ((p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) - a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ cos² θ).
• S = √ ((p - a) ⋅ (p - b) ⋅ (p - c) ⋅ (p - d)).

في هذه الصيغ ، d1 و d2 هما أطوال قطري المربع ، و r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة ، و p نصف المحيط ، و α هي الزاوية بين القطرين ، و هي النصف- مجموع زاويتين متقابلتين ، أو (α + β) / 2.

ماسي

لحساب مساحة هذا الشكل الهندسي البسيط ، يتم استخدام 3 صيغ ، حيث المتغيرات هي الارتفاع وأطوال الأضلاع والزوايا والأقطار. للحساب ، يمكنك تطبيق واحدة من ثلاث معادلات:

• S = a ⋅ h.
• S = a² ⋅ sinα.
• S = (1/2) ⋅ d1 ⋅ d2.

في نفوسهم ، a هو طول جانب المعين ، h هو طول الارتفاع المنخفض له ، و α هي الزاوية بين الجانبين ، و d1 و d2 هما أطوال القطرين.

شبه منحرف

يمكنك تحديد تربيع شبه منحرف مع ضلعين متوازيين ، مع معرفة ارتفاعه ونصف مجموع القواعد ، وكذلك استخدام أطوال الأضلاع - وفقًا لصيغة هيرون:

• S = (1/2) ⋅ (a + b) ⋅ h.
• S = ((أ + ب) / | أ - ب |) ⋅ √ ((ف - أ) ⋅ (ف - ب) ⋅ (ف - أ - ج) ⋅ (ف - أ - د)).

في هذين التعبيرين ، a و b هما أطوال قاعدتي شبه المنحرف ، و c و d هما أطوال وجوه الأضلاع ، و h هو الارتفاع ، و p هو نصف المحيط الذي يساوي (a + b + ج + د) / 2.

يسهل حساب معظم الصيغ المدرجة على قطعة من الورق أو آلة حاسبة ، ولكن الخيار الأسهل اليوم هو تطبيق عبر الإنترنت يعتمد على المتصفح حيث تم تحديد جميع المتغيرات بالفعل ، وكل ما تبقى هو إضافة المعلومات المعروفة الأرقام إلى حقولهم الفارغة.